Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Aj = o>i О, А3 = ^1^2 - ^ От
Ад = йд А2 - UlU^ О, А^ ^ Й^Ад О,
При выполнении неравенств (4.24) условие Д2>0
становится следствием условия Д3 0. Поэтому условие асимптотической
устойчивости системы четвертого порядка имеет вид (а0 > 0)
o-i > 0, а2 > 0, а3 > 0, я4 > О,
А3 = я4я2я3 - а0я3 - ai"t4 0 (4-32)
(в А3 внесено значение Д2).
Приведем пример, показывающий, что при п >• 2 выполнение одних неравенств
(4.24) недостаточно для отрицательности вещественных частей всех корней
характеристического уравнения. Рассмотрим уравнение третьей степени
А,3 + Я2 + 4Х + 30 = 0.
Все его коэффициенты положительны, так что условие (4.24) выполнено.
Однако два корня этого уравнения,
A.J = 1 + 3i, Xj = 1 - 3i,
110
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
имеют положительные вещественные части (Re Ч = Re 'к2 - 1), а корень Х3 =
-3 отрицателен. Заметим, что последнее неравенство из (4.30) имеет в этом
случае противоположный знак:
Д2 = ata2 - а0а3 = 1 -4-1 *30 = -26 <( 0.
В заключение этого параграфа заметим, что в общем виде условие Гурвица
очень удобно при п 4. В тех случаях, когда п велико и левая часть
характеристического уравнения имеет форму определителя и не приведена к
многочлену (раскрытие определителя большого порядка представляет
трудоемкую задачу), целесообразно перейти к численным методам с
использованием электронных вычислительных машин. Численные методы с
применением ЭВМ полезны и в тех случаях, когда характеристическое
уравнение задано в форме многочлена.
§ 4.5. Примеры
Пример 1. Условия устойчивости установившихся режимов вольтовой
дуги в це-
пи с сопротивлением, самоиндукцией и зашунтированной емкостью. В примере
2 § 2.7 были рассмотрены условия устойчивости установившихся режимов
вольтовой дуги в цепи с сопротивлением и самоиндукцией. Рассмотрим
усложненную схему [4], когда в цепь дополнительно включена зашун-
тированная емкость (рис. 4.1). Предполагаем, как и раньше, что ток,
проходящий через дуговой промежуток, является функцией напряжения на
дуге, т. е. снова будем пренебрегать инерцией ионных процессов в дуге.
Пользуясь законами Кирхгофа, легко получим следующие дифференциальные
уравнения процессов, протекающих в схеме:
di du Е - и
L ~dt = " ~ ^ W' C~dF= R ~1' (4.33)
В этих уравнениях L - самоиндукция, С - емкость конденсатора, R -
омическое сопротивление, Е - электродвижущая сила источника постоянного
тока, ф (i) = v - напряжение на дуге (график этой функции изображен на
рис. 2.18).
Внося в уравнения i = I = const и и = U = const, получим уравнения для
определения тока I и напряжения U, отвечающих установившимся режимам:
R L
U - ф (/) = 0, Е - U - Ш = 0, (4.34)
§ 4.5. ПРИМЕРЫ
111
или, исключая напряжение V,
RI Н- ф (/) = Е. (4.35)
Это уравнение совпадает с уравнением (2.49), которое соответствует схеме
без емкости. Из этого следует, что внесение емкости в схему вольтовой
дуги не изменяет значения тока в возможных установившихся режимах. При
анализе уравнения (2.49) было показано, что таких режимов принципиально
может существовать три, два, один; при отсутствии вещественных корней
уравнения (2.49) или, что то же самое, (4.35), установившихся режимов не
существует. В том же примере были установлены условия асимптотической
устойчивости установившихся режимов. Рассмотрим, какие изменения внесет
зашунтированная емкость в полученные результаты.
Примем установившийся режим за невозмущенное движение. Обозначим значение
тока i в возмущенном движении через I + х, а значение напряжения и в этом
движении через U + у:
i = I + х, и = U + у.
Внесем эти выражения в уравнения (4.33):
Е - U + У - Ф (I + x)i
" dy Е - U - у
С dt Д -1х.
Разложим функцию ф (I + х) в ряд по степеням х и воспользуемся введенным
ранее обозначением % = ф' (/).
ф (I + х) = ф (/) + V.X + . . .,
где точками обозначены члены высшего порядка. Подставив это выражение для
функции ф (7 + х) в последние уравнения, получим
L = у - %х -j- U - ф (А) ,
du у Е - U
сж=-^-* + -д-т-
Учитывая, что значения тока I и напряжения U в установив шемся режиме
должны удовлетворять равенствам (4.34), найдем дифференциальные уравнения
первого приближения возмущенного движения:
dx dy у
L~dT = У - %х' С ~df = ~ "й" х- (4.36)
Будем искать решение в форме (4.3):
х = Аеи, у = Веи. (4.37)
Продифференцируем эти выражения по времени, внесем найденные значения для
производных и сами функции в уравнения (4.36) и сократим их на е,л. Тогда
после очевидных преобразований получим
(Ьк + к)А - В=0, А ф-(с>1 + -д-)]3 = 0. (4.38)
112 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим характеристическое
уравнение
LX + к - 1
1 -о,
сх -
или
CLX3
1
R
1 = 0.
(4.39)
Согласно критерию Гурвица (4.28), для системы второго порядка (4.27)
установившееся движение i = I, и = U будет асимптотически устойчиво, если
коэффициенты а, и а2 этого уравнения положительны. В рассматриваемом
случае будем иметь следующие условия асимптотической устойчивости
