Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
аХ1 а12 • • ахт
А = а2Х в22 • • ахт
апх ап2 ' . а пт
Сокращенно матрицу можно записать так:
А = || akj || (п X т).
Если число столбцов равпо единице (т = 1), то получим матрицу-столбец
(5.2)
Если же число строк равно единице (п = 1), то получим матрицу-строку
У = II Ух • • • Ут II- (5.3)
Любой вектор ас с составляющими х1: . . ., хп можно
представить как матрицу-столбец ас или матрицу-строку ас. В связи с этим
разложение вектора х по ортам (см. сноску на с. 22)
ас - ххех + х%Оч + . .. + хпеп (5.4)
и представление его в форме матрицы-столбца (5.2) будем
считать эквивалентными.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется
квадратной, а число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.
Определитель, состоящий из элементов некоторых к строк и к столбцов
матрицы, называется минором к-то порядка данной матрицы. Так, например,
минорами первого порядка будут сами элементы матрицы, и их число равно п-
m. Для матрицы
| а11 Й12 Щз II
I а21 й22 аЧЪ II
можно составить три существенно различных минора второго порядка
а и а12 а11 °13 а12 °13
а21 а22 1 а21 а23 1 а22 а23
126 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Для квадратной матрицы А порядка п минор п-го порядка равен определителю
матрицы А, который обозначается символом det А или | А |.
Две матрицы называются равными, если числа строк и столбцов их
соответственно равны и равны их соответствующие элементы. Поэтому
матричное равенство А - В эквивалентно п-т скалярным равенствам
Ч; = Ь,с} (к = 1, . , п; J = 1, . . т). (5.5)
Произведением матрицы на число называется новая
матрица, элементы которой равны произведениям соот-
ветствующих элементов исходной матрицы на данное число, т. е.
кА = А, Ц a};j || = || Xafl.j К. (5.6)
Например,
2 1 0 6 СО °||
-14 5 СО 1 12 15 I '
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и
обозначается символом 0.
Суммой матриц одного и того же типа называется новая матрица того же
типа, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых
матриц. Например,
+
S 2 4 1-1 3 1 II
i -3 6 | 9 -3 И 1 '
Из сделанных определений следует (латинские буквы означают матрицы,
греческие - скаляры):
А + (В + С) = {А + В) + С,
А + В = В + А,
А + 0 = А, (5.7)
(a -f- Р) А = аА + (L4, а [А + В) - а А + о,В.
Произведением двух матриц А ж В при условии, что число столбцов первой из
них равно числу строк второй, называется третья матрица С, элементы
которой образуются по следующему правилу:
§ 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
127
Словами это правило можно прочитать так: элемент матрицы произведения АВ,
стоящий в к-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов k-
й строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца второй
матрицы В. Например,
а11 "12 Hi *12 Из
"21 "22 Hi Ь'22 Из
"llHl + "12^21 "I1H2 -\- "12^22 "пНз + "12^23 II
"21&11 ~Ь "22^21 "21&12 + "22^22 "нПз + "22^23 II
Произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей,
т. е. в общем случае
АВ Ф В А.
Пользуясь определением сложения и умножения матриц, легко показать, что
(А + В) С = АС + ВС.
Кроме того, легко установить, что определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению их определителей
det (АВ) = det A det В. (5.9)
Сумма элементов, стоящих на главной диагонали квадратной матрицы,
называется следом матрицы. След матрицы обозначается символом Sp. По
определению имеем
Sp А = ап + а22 апп. (5.10)
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а
остальные нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е:
1 0 . . 0
Е = 0 1 . . 0
0 0 . . 1
Непосредственным вычислением легко установить равенства
АЕ = ЕА = А. (5.11)
Квадратная матрица, имеющая вид
"1 0 . 0
0 а2 . 0
0 0 .. а
назцдаетсд диагональной.
128 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то матрица называется
неособенной, в противном случае - особенной. Матрица А~х называется
обратной к А, если произведение АА~Х или А~ХА равно единичной матрице Е,
то есть
АА~Х = А~ХА = Е. (5.12)
Легко показать, что всякая неособенная матрица имеет обратную.
Если в матрице заменить строки, на столбцы и столбцы на строки, то
получим новую матрицу, которая называется транспонированной по отношению
к данной; обозначается транспонированная матрица той же буквой, но
ставится штрих наверху справа. Так, для исходной матрицы
А = || а" ||
транспонированной матрицей будет
А' = 11^ 11-
Операция транспонирования применима к любым матрицам, в частности, если
транспонировать матрицу-столбец
ад
то получим матрицу-строку
х' = || х±, . . ., хп ||.
Непосредственно из определений произведения и транспонирования матриц
следует формула
(.АВ)' = В'А(5.13)
Аналогичная формула справедлива для обратных матриц:
(.АВу1 = В~ХА-Х. (5.14)
Так как определитель не меняется от замены его строк на столбцы и
столбцов на строки, то определители транспонированной п исходной
