Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
корни • . >, ^ вещественные. Составим функцию Ляпунова в следующей
'форме:
V = -g- Vi (Z1Z2 -j- V2Z3Z,) T^Zg -... -J- XnZn)' (^*17)
Отметим, что эта вещественная функция может принимать положительные
значения, например, при z3 = z4 = z5 = = . . . = zn = 0 и zx Ф 0, z3 Ф 0.
Вычислим производную функции V:
Г 1
Р = Vr -TJ- [i|Z2 + Z\Z2 + V2 (Z3Z4 -f- Z3Z4)] -f-
+ Xbzbzb ^nz"z"|,
104 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Внесем сюда значения производных zk из уравнений (4.8) и сгруппируем
члены, как это было сделано при доказательстве первой теоремы:
V = vi [(X,i + Хг) zxz3 + v-2 (Х3 + >"4) z3z4] +
+ Xlzl + ... + X\zn| + Z,
где Z - совокупность членов, содержащих zlt . . zn в степени выше второй.
Пользуясь равенствами (4.12) и (4.15), получим
Ф = Vi {v4 (ui + l\) + v2 (u2 -j- r2) + A.5Z5 + ...
• • • + Xlzl) + Z. (4.18)
В сделанных предположениях )> 0 и v2, Хь, . . ., Xn не равны нулю.
Поэтому квадратичная часть производной
V будет определенно-положительной, а вместе с ней при достаточно малых
значениях | zk | определенно-положительной будет и производная V
независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все
условия теоремы Ляпунова о неустойчивости движения (см. § 2.4) (функция V
может принимать положительные значения, а ее производная К, вычисленная в
силу уравнений возмущенного движения, определенно-положительная), что
доказывает сформулированную теорему.
Доказанные две теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению
решают задачу в двух случаях:
1) вещественные части всех корней характеристического уравнения
отрицательны;
2) вещественная часть хотя бы одного корня положительна.
В обоих случаях уравнения первого приближения полностью решают задачу об
устойчивости движения без необходимости привлечения к анализу нелинейных
членов. Конечно, структура корней характеристического уравнения может
быть и другой, а именно: вещественные части некоторых или всех корней
характеристического уравнения могут равняться нулю (в частности, среди
корней могут быть и нулевые), а вещественные части остальных корней
отрицательны. В этих случаях (они называются особыми или критическими
случаями) для определения характера устойчивости движения одних уравнепий
первого приближения недостаточно - необходимо рассмотреть влияние
нелинейных членов.
§ 4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
105
Исследование особых случаев требует, как правило, применения весьма
тонких методов анализа, а также больших и трудоемких преобразований.
Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся разбором двух
примеров, показывающих, что в особых случаях уравнепия первого
приближения не могут решить задачу об устойчивости движения (подробный
разбор особых случаев см. в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г.
Малкина, А. П. Маркеева [35, 49, 37, 37а]).
Пример 1. Рассмотрим уравнепия возмущенного движения, которые были
приведены па с. 20:
имеет два корня (А1>2 = + | а | i), вещественные части которых равны нулю
(Re = Re А2 = 0). Следовательно, для рассматриваемых уравнений теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению неприменимы. В § 1.2 было
показано, что решение полных уравнений ничего общего не имеет с решением
уравнений первого приближения (см. с. 21).
Пример 2. Рассмотрим устойчивость равновесия системы с одной степенью
свободы, находящейся под действием нелинейной потенциальной силы и силы
сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (см. пример 4 §
2.7). Уравнения возмущенного движения в сделанных предположениях имеют
вид (см. (2.63))
= - ахг + ахг У х\ +
где а - const.
Составим уравнения первого приближения:
А = -ах,,,
•2-g - ОС
Характеристическое уравнение
- а А
Мхг = - цх1 ---
*2 = xi (m 5s 2, ц >• 0). Составим уравнения первого приближения
Мх1 = -цх1г ?% - х±.
Характеристическое уравнение
0
имеет один отрицательный вещественный корень (Ах = -ц/М) и один нулевой
корень (А2 = 0). Согласно теореме 3, приведенной
106 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
на с. 100, невозмущенное движение хх = х2 = 0, соответствующее уравнениям
первого приближения, устойчиво, но не асимптотически. Так как один корень
характеристического уравнения равен нулю (Х2 = 0), то этот вывод может
оказаться ошибочным. Действительно, анализ нелинейных уравнений (см.
пример 4 § 2.7) показывает, что при к > 0 и т нечетном движение
асимптотически устойчиво в целом, а во всех остальных случаях движение
неустойчиво.
§ 4.4. Критерий Гурвица
Раскроем характеристический определитель, сгруппируем члены по степеням X
и приведем уравнение (4.5) к виду
а0Хп + + . . . -j- ап-гХ ап = 0, (4.19)
причем, не нарушая общности, можно считать, что а0 ^> >0*).
Согласно первой теореме § 4.8, для определения устойчивости движения по
уравнениям первого приближения нужно знать, когда вещественные части всех
корней характеристического уравнения будут отрицательны. Естественно, что
наибольший интерес представляет решение этой задачи, не связанное с
