Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
х = AeU, z = Веи.
Найдем отсюда .#, х, z и внесем соответствующие значения в уравнения
(4.45). Произведя очевидные преобразования, получим обычным путем
следующие алгебраические уравнения:
(Г2Я; + + 1) А _ kiB = 0)
(**Я. + к0) А + (7\Л.+ 1) В = 0.
Так как эта система однородных уравнений должна иметь решение
относительно А и В, отличное от нуля, то определитель этой системы
равняется нулю:
Т,Х* + Т2Х -1-1 - к,
к.Х + к0 ТаХ + 1 или
Г0Г*Л" + (Т{ + Г"Г2) V + {То + Г2 + к,к2) X + 1 + кок, = 0.
Для большей наглядности учтем, что члены Т2 и кхк2 существенно меньше Т0.
На этом основании последнее уравнение можно записать так:
Т0Тр + {T'l + ТаТ2)Х2 + Т0Х + 1 + как, = 0.
Все коэффициенты этого уравнения положительны, поэтому критерий Гурвица
(4.30) приводится к одному неравенству
Д2 - х,а2 - 0,
что в нашем случае дает
Д2 = То (Г0Г2 - кок,т\) > 0. (4.46)
Таково условие асимптотической устойчивости системы двига-,. тель -
центробежный регулятор. Все постоянные времени Т0, Ти Т2 и коэффициенты
усиления ка и к, легко вычисляются по параметрам системы, и, для того
чтобы успешно осуществлялось регулирование, необходимо прежде всего
подчинить их неравенству (4.46).
Отметим теперь, что при отсутствии сил сопротивления в регуляторе
постоянная времени Т2 равна нулю и неравенство (4.46) принимает
противоположный смысл:
Д2 - кок,ТоТ? 0.
• 0
118 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Это означает, что без сил сопротивления регулирование неосуществимо, так
как система неустойчива.
Возникает, естественно, вопрос: почему десятки тысяч центробежных
регуляторов, изготовленных до середины XIX столетия, успешно работали?
Объясняется это следующим. Маломощные двигатели имели большие маховики и
легкие регулирующие устройства, перемещавшиеся с существенным трением,
обусловленным грубым выполнением. В этих условиях постоянная Т2 ф 0, а
постоянная Тв очень велика (за счет больших моментов инерции J
маховиков). В результате неравенство (4.46) выполнялось автоматически без
заботы об этом конструкторов. При увеличении мощности двигателя
увеличилось число его оборотов и уменьшился момент инерции / маховика
(при болыномчисле оборотов большие маховики не выдержат внутренних
напряжений). Это привело к уменьшению постоянной Т0, в результате чего
естественных сил сопротивления, характеризуемых постоянной Г2, оказалось
недостаточно для выполнения условия устойчивости (4.46). Необходимо было
увеличить силы жидкостного сопротивления, что и было сделано установкой
демпфера. Его основная характеристика - постоянная времени Т2, лежащая в
основе расчетов,- легко определяется при заданных Та, Тх, к0 и из
неравенства (4.46). Эти обстоятельства были впервые установлены И. А.
Вышнеградским в работе [13], опубликованной в 1876 г. г).
Пример 4. Необходимое условие устойчивости волчка (вращательно го
движения снаряд а).В примере 3 § 2.6 было получено следующее достаточное
условие устойчивости установившегося движения волчка (вращательного
движения снаряда) относительно переменных а, й, р, Р и ф:
j\n2 > UxPl. (4.47)
Покажем теперь, что при противоположном смысле этого неравенства
установившееся движение волчка (вращательное движение снаряда) будет
неустойчиво.
Составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Выражения для
кинетической Т и потенциальной П энергий волчка были получены в примере 3
§ 2.6:
1 1
Т - ~2 Jх (а2 + Р2 cos2 ") + ~2 ^ - 0 sin а)2,
П = PI cos а cos р.
Так как для доказательства неустойчивости движения достаточно показать,
что хотя бы одна траектория в возмущенном движении выходит за пределы
сферы е, то рассмотрим возмущения (а = = а0, а = а0, Р = Р0, р = Р0, ф =
ф0 = п при t = 0), для
J) В упомянутой статье И. А. Вышнеградского впервые дан подробный анализ
работы регулятора прямого действия и сделаны практические выводы,
оказавшие глубокое влияние на развитие теории и практики автоматического
регулирования. Не без основания считается, что эта работа положила
основание современной теории регулирования.
§ 4.5. ПРИМЕРЫ
119
которых интеграл
дТ
-~ =¦ -Jz (ф - Р sin а) = Jzn (4.48)
dtf
сохраняет свое значение.
Чтобы составить уравнения первого приближения, разложим выражения для
кинетической Т и потенциальной П энергий в ряд по степеням а, а, р и р,
сохраняя члены до второго порядка малости включительно. С точностью до
постоянной будем иметь
т=4- /, у+ра)+4- -мф - р")2.
1
П= --g-PZ ("* + ?*).
Пользуясь уравнениями Лагранжа второго рода и интегралом (4.48), получим
дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения
волчка относительно координат а, Р и скоростей а и Р
-f" Jzn$ Plci = 0, ^
JxР - Jzna - PIР = 0.
Обычным путем составим характеристическое уравнение JxX2 - PI JznX
- J zrik Jr№-PI
= 0,
J2X* + (J2y - 2JxPl) X2 + P2P = 0. (4.50)
Критерий Гурвица для этого характеристического уравнения применить
нельзя, так как неравенства (4.32) не выполняются (аг = 0, а3 - 0, Д3 -
