Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
непосредственным вычислением корней характеристического уравнения.
Впервые эту задачу в 1868 г. поставил Д. Максвелл; он же привел решение
для п = 3. В общем виде в 1877 г. решил эту задачу Е. Раус [56]. Его
решение носит алгоритмический характер; в явном виде он дал условия для н
= 4 и и = 5. В 1895 г. А. Гурвиц получил аналитическое решение. Алгоритм
Рауса и критерий Гурвица эквивалентны, хотя они и различны по форме.
Полезно отметить, что работы Максвелла были связаны с его исследованиями
регуляторов, а математик Гурвиц занялся этой проблемой по просьбе проф.
А. Стодолы, инженера-ма-шиностроителя, одного из основоположников теории
регулирования турбин. Работы Д. Максвелла и А. Стодолы приведены в [13].
Мы рассмотрим условие Гурвица - оно носит алгебраический характер, более
удобно в приложениях и имеет наибольшее распространение.
г) Если уравнения первого приближения решены относительно производных то
коэффициент а0 при старшем члене в уравнении (4.19) равен (-1)''; при п
нечетном умножением всего уравнения на -1 его можно сделать равным -(-1.
В общем случае а0 ф 1, и делить на этот коэффициент не всегда
рационально.
§ 4.4. КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА
107
Построим из коэффициентов а0, аг, .(4.19) следующую матрицу:
ч аз аъ ¦ . 0
аа "2 . 0
0 Ч а3 . . 0
0 0 0 . . а п
ап уравнения
(4.20)
Эта матрица строится следующим образом: в первой строке стоят
коэффициенты уравнения (4.19) с нечетными индексами, начиная с аг.
Элементы каждой последующей строки образуются из соответствующих
элементов предшествующей строки уменьшением индекса на единицу. Если в
соответствии с этим правилом индекс коэффициента а-ц, т. е. число к,
превосходит степень п уравнения (4.19) или должен быть отрицательным, то
заменяется нулем. В результате такого построения на главной диагонали
должны стоять коэффициенты аи . . ., ап, а в последнем столбце все
элементы, кроме последнего, равны нулю.
Составим из матрицы (4.20) главные диагональные миноры
Лз
Ai = ax, Аг =
йо й2
,..Дп - (4.21)
Последнее равенство очевидно, если учесть, что в последнем столбце
матрицы (4.20) все элементы, кроме ап, равны нулю.
Теорема Гурвица. Для того чтобы все корни алгебраического уравнения
(4.19) с вещественными коэффициентами и положительным коэффициентом при
старшем члене имели отрицательные вещественные части, необходимо и
достаточно, чтобы все главные диагональные миноры (4.21) были
положительны:
А, > 0, А2 > 0, . . ., А"_х > 0, Ап > 0. (4.22)
Не останавливаясь на доказательстве этой^ чисто алгебраической теоремы
(см., например, [49]), заметим, что из теоремы Гурвица и первой теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению можно сделать следующий
вывод: если при а0^> 0 все миноры Гурвица Alt . . . . . ., Ап
положительны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво,
независимо от членов выше первого порядка малости.
Заметим также, что если хотя бы одно из неравенств (4.22) имеет
противоположный смысл, то среди корней
108
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Л.х, . . Хп уравнения (4.19) имеются такие, вещественные части которых
положительны (это служит признаком неустойчивости системы - вторая
теорема Ляпунова, § 4.3).
Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, остановимся на
следствиях, вытекающих непосредственно из формул Виета:
-¦ = - (Xi + А.а + ... + Хп),
а о
~ == + • • • + K-iK, (4.234
-5-=(-i)n^xs...v
1. Для того чтобы при а0 )> 0 все корни уравнения
(4.19) имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все
коэффициенты аг, . . ., ап были положительны
а1 ]> 0, а2 Д> 0, . . ., ап )> 0. (4.24)
Заметим, что эти неравенства (конечно, они только необходимы, но не
достаточны) можно получить из критерия Гурвица.
2. Если при а0 Д> 0 хотя бы один из коэффициентов аи . . ., ап
отрицателен, то среди корней . . ., Хп уравнения (4.19) имеются такие,
вещественные части которых положительны.
Перейдем к рассмотрению частных случаев.
1. Система первого порядка (п = 1). Характеристическое уравнение имеет
вид
а0Х + аг = 0. (4.25)
Условие асимптотической устойчивости (а0 >0)
<*! > 0. (4.26)
2. Система второго порядка (п = 2):
а0Х2 + агХ + а2 = 0. (4.27)
Матрица (4.20) и условие Гурвица имеют вид
ах 0
, Ai = ai^>0, Д2 = Я1а2)>0.
"0 %
Отсюда следует условие асимптотической устойчивости системы второго
порядка (а0 4> 0)
ai > 0, а2 > 0 (4.28)
§ 4.4. КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА 109
3. Система третьего порядка (п = 3):
а013 а4Х2 -f- а2Х -f- а3 = 0, (4.29)
Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица:
"х Яз 0 [I
во в2 off, A, = ai>0, Д2 = я4я2- ЯоЯз О,
У
О щ а3 II
Аз =¦: азД-2 9.
Пользуясь неравенствами (4.24), сразу получаем условие асимптотической
устойчивости системы третьего порядка
К > 0):
&\ 0, йд 0, йз 0, Ад = я4я2 - а0яз ^ 0* (4.30)
4. Система четвертого порядка (ге = 4). В этом случае
я0Я4 + я4Х3 + я2Х2 + а3Х + я4 = 0. (4.31)
Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица (4.22):
flj ?J3 0 О
IZq #2 ^4 (r)
О Ях й3 О О Й0 Й2 ^4
