Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
характеристика не будет иметь касательных, параллельных оси г; в
противном случае такие касательные существуют. Для примера на рис. 4.5
показана амплитудно-частотная характеристика для реакции F = apa при 1 <(
a < 2. Характеристике 2 отвечает первый случай (отсутствие вещественных
корней а4), а характеристике 3 -
122 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
второй случай. Очевидно, что при небольших и очень больших со,
коэффициент а4 положителен, а в точках В и 6' он равен нулю.
Учи-
тывая, что я4 представляет непрерывную функцию со, получим на участках ОВ
и CD амплитудно-частотной характеристики я4 > О, а на участке ВС этот
коэффициент отрицателен.
Положив р = г + z4 и ф = со/ - V + z2 (zjf - вариации координат), получим
из (4.55) уравнения возмущенного движения
zi + M^i - 2rcoia -)- [/''(г) - со2] zx - |ircoz2 = Zly
rz2 + pri2 + 2mz4 + pcoz! + r [x2 (r) - to2] z2 = Z2. '4-61^
Здесь Zj - члены, содержащие zjt и z;, в степени выше первой.
Характеристическое уравнение системы (4.61) приводится к виду
X4 + 2цХ2 + [х2 (г) + F' (г) +
+ 2со2 + ц2] X2 + [х2 (г) +
+ F' (г) + 2со2] X + [х2 (г) - со2].
¦ [F' (г) - со2] + ц2о)2 = 0. (4.62)
В силу условия (3.40) определитель Гурвица
Аз = Р2 № (г) ~ F' (г)]2 + 2[х3 (г) + + ?' (г)] (4со2 + р2), (4.63)
и все коэффициенты уравнения (4.62), кроме последнего, всегда
положительны, поэтому при а,">0, где я4 совпадает с (4.60), стационарное
движение будет асимптотически устойчиво относительно р, р, ф и ф, а при
я4 < 0 это движение неустойчиво, причем оба утверждения не зависят от
членов высшего порядка. Уравнению
Рис. 4.5
я4 = 0 отвечают точки бифуркации, в которых касательные к амплитудно-
частотной характеристике параллельны оси г. Поэтому для реакции F = яр"
всей характеристике 2 и участкам ОВ и CD характеристики 3 (рис. 4.5)
отвечают асимптотически устойчивые прецессии, а участку ВС - неустойчивые
прецессии. На рис. 4.6 показан характер изменения радиуса орбиты
стационарного движения при медленном увеличении (уменьшении) частоты
собствен-
§ 4.6. ПРИМЕРЫ
423
його вращения ротора для мягкой (а) и жесткой (б) упругой податливости
подшипников.
Для нелинейной реакции F0 (р) на восходящей ветви амплитудно-частотной
характеристики давление N на подшипники может достигнуть значительной
величины даже при ничтожно малом эксцентриситете. Действительно, при F0 =
а(,р'2 (закон Герца, принятый для шариковых подшипников) уравнение
скелетной кривой 1 (рис. 4.5) принимает вид г = ы4/а2 = га2ш4/а^. Так как
на участке ОА3 радиус орбиты г (со, е) > г (со, 0) = лг2(о4/а^, то при
любом е ф
Ф 0 суммарное давлепие N = аиг 'г на подшипники будет удовлетворять
условию
лг>^1юв. (4.64)
ао
Отсюда видно, что при увеличении частоты ш собственного вращения ротора
давление N на участке О А 3 быстро возрастает. Таким образом, анализ
устойчивости объясняет возникновение больших давлений неуравновешенного
ротора, установленного в нелинейных подшипниках г). Для борьбы с этим
нежелательным явлением в некоторых случаях шариковые подшипники
устанавливают в линейные упругие обоймы [26а].
4) Более подробный разбор устойчивости движения оси неуравновешенного
ротора, в частности, с учетом ограниченной мощности двигателя содержится
в [40а].
ГЛАВА V
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 5.1. Введение
В этой главе будет продолжено рассмотрение методов исследования
устойчивости движения линейных автономных систем. В нормальной форме
дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (см. уравнения
(1.14))
Xi ^11*^1 I- • • * "К ^1 rv^ni
• • • ............................. (5-1)
Хп ЩЦ'Н -I- • • " ~И аппХп i
где коэффициенты al:j - постоянные вещественные числа.
Случай, когда характеристическое уравнение системы
(5.1) имеет простые корни, был уже рассмотрен в § 4.2. В этой главе мы
будем изучать устойчивость движения при любой структуре корней
характеристического уравнения.
Решение вопроса об устойчивости систем, возмущенное движение которых
описывается уравнениями (5.1), в общем случае требует знания некоторых
разделов теории матриц. Кроме того, вся теория таких уравнений
значительно проще и изящнее излагается в матричной форме. Поэтому эта
глава начинается с изложения основных, а также некоторых специальных
разделов теории матриц. Читатель, знакомый с элементами матричного
исчисления, может опустить следующий параграф.
§ 5.2. Матрицы и основные действия с ними
а) Основные определения. Всякая система изп-т чисел, расположенных в
форме прямоугольной таблицы, содержащей п строк и т столбцов, называется
матрицей типа п X т. Числа, составляющие матрицу (т. е. таблицу),
называются элементами матрицы; в общем виде их снабжают индексами внизу
(первый индекс означает номер строки, второй - номер столбца), а сама
§5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
125
матрица обозначается соответствующей буквой без индек-сов. Так, например,
матрицу А типа п X т записывают следующим образом:
