Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 39

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 101 >> Следующая

изготовлением центробежных регуляторов, принимали все доступные в те
времена меры для уменьшения сил сопротивления. Заметим, что изображенный
на рис. 4.3
§ 4.5. ПРИМЕРЫ
115
демпфер J) появился только во второй половине XIX столетия, когда десятки
тысяч центробежных регуляторов уже использовались Ь промышленности.
При переходе к двигателям большей мощности обнаружилось, что регуляторы,
изготовленные по этому принципу, не только не обеспечивают устойчивый
режим работы, но даже разгоняют двигатели. Для того чтобы уяснить причины
этого явления, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения
и определим условия устойчивости установившегося режима.
Для простоты выкладок пренебрежем массой муфты и стержней; кроме того,
будем считать шары за материальные точки и предположим, что в
установившемся режиме пружина с жесткостью с находится в
недеформированном состоянии. Углы а, Р и расстояние L муфты М от верхних
шарниров, показанные на рис. 4.3, соответствуют установившемуся режиму.
Пусть установившийся режим нарушен: муфта М поднялась на величину х, а
угол а изменился на 6.
Имея в виду составить уравнения первого приближения, будем считать
величины а: и б малыми. Тогда с точностью до членов высшего порядка
получим
б = цх, (4.42)
•ctg Р ,
где (г = -^- (читатель легко установит эту зависимость самостоятельно).
Обозначим угловую скорость вращения регулятора в неуста-новившемся режиме
через ф, а угол между стержнями шаров и осью регулятора через ф = а + б.
Так как движение шаров складывается из переносного движения (вращение
вокруг оси регулятора) и относительного движения (вращение вокруг верхних
шарниров на угол ф), то кинетическая энергия системы будет равна
Т = ml2 (ф2 -j- ф2 sin2 ф) -f-1/2 Тф2.
Здесь m - масса одного шара, а / - приведенный к оси вала двигателя
момент инерции его вращающихся частей с учетом передаточного числа
(предполагается, что / = const).
Потенциальная энергия силы тяжести шаров и пружины определяется
равенством
1 с
П = 2ml (cos а - cos ф) + -у -jjf (ф - а)2
(в сделанных предположениях деформация пружины равна х - б/ц).
Обобщенные силы системы равны ОТ
<?,t =
где - vcj; - приведенная к стержням шаров сила жидкостного сопротивления
(v = const), создаваемая демпфером или естественными силами
сопротивления, Мг - движущий момент, М2 - момент
1) Гидравлический демпфер (катаракт) состоит из поршня и цилиндра,
заполненного вязкой жидкостью. При перемещении поршня жидкость протекает
через небольшие отверстия (они делаются в поршне или в обводном канале),
создавая силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости.
116 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
сопротивления двигателя, приведенным к его оси. Можно считать, что
движущий момент М, зависит от поступающего рабочего тела, т. е. от
положения дросселя, угол поворота которого есть функция ср, а момент
сопротивления М2 зависит от угловой скорости вращения вала ф.
Применяя обычную схему Лагранжа
d дТ дТ
= (3 - Ф- 'Ф).
составим уравнения движения системы
... с
2ml2(f - ml(r)фа sin 2ф = - 2mgl sin ф - -2 (ф - а) - vф,
г (4.43)
(/ + 2отР sin2 ф) ф + 2ml2 sin 2ффф = Мх (ф) - Мг (ф).
В установившемся движении ф = а - const, ф = со = const. Внося эти
значения в уравнения (4.43), найдем связь менаду параметрами системы
со2 cos а = g/l, Мх (а) = М2 (оо). (4.44)
Положим ф=со + 2иф = а+ рг. Подставив эти значения для ф и ф в (4.43),
получим уравнения возмущенного движения
2mpZ2z - ml2 (со -)- z)2 sin 2 (а + рг) =
с
== - 2mgl sin (а + рг) - -- х - руг, г
[/ + 2ml2 sin2 (а + рг)] z + 2р ml2 sin 2 (а + р.т) г (со + z) =
= Мх (а + цх) - М2 (со + z).
Разложим нелинейные члены в ряды по степеням х и z. Тогда, ограничиваясь
членами первой степени относительно гиги учитывая равенства (4.44),
получим уравнения первого приближения возмущенного движения системы около
установившегося движения Ф = а и ф = со:
2р2ml2x + р2уг + (с + 2p2mZ2co2 sin2 а) х - 2pmZ2co sin 2а -z,
(J -j- 2ml2 sin2 a) z -j- 2pmiaa) sin 2a -x =
I dMx \ ( dM2 \
-Р{ dx )x=1* ^ dz J^2-
Для простоты обозначений введем постоянные времени Тг, Т2, Т0 и
коэффициенты усиления к0, к1 и к2:
2 2р 2ml2 p2v
~ с -)- 2\i2ml2a>2 sin2 а ' ^2 с -j- 2p2mZ2co2 sin2 а '
Г/дМ.,\ Т-i Г(дМЛ I"1
(/ + 2mZ2sm2a) | (^)о , fc2-2pmPo)sin2a ,
2pmZ2cosin2a I дМх \ ~/дМ.г\ "I-1
с -J- 2p2mZ2co2sin2 a ' ~^ V дх /о A dz /0J '
§ 4.5. ПРИМЕРЫ 1)7
Теперь уравнения возмущенного движения примут свой окончательный вид
Т\х -{- T2i + х = k,z, T0z + z = - kax - k2t. (4.45)
Здесь необходимо отметить, что производная (dM2ldz)0 положительна (момент
сопротивления Л/, возрастает с увеличением угловой скорости ф, т. е. z),
а производная (дМ,/дх)о отрицательна, так как из самого устройства
регулятора видно, что с увеличением подъема муфты М (возрастания х)
дроссельная заслонка будет пропускать меньше рабочего тела (см. рис.
4.3). Из этого следует, что коэффициент усиления к0 положителен.
Будем искать решение уравнений (4.45) в форме
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed