Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
движения можно составить по уравнениям первого приближения
Xi ^ O'll'I'l ~f" • ¦ • ~Ь П|П?П,
.............................................. (4.2)
Хп "пА ' • • . ~f- ^ипXп
нри любых нелинейных членах Хх, . . ., Хп.
Впервые эта задача была поставлена А. М. Ляпуновым. Ему же принадлежит ее
полное решение для автономных систем, когда все коэффициенты akj -
постоянные числа, а также для многих случаев неавтономных систем при akj,
зависящих от времени t,
4 д. р. меркла
98
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
§ 4.2. Предварительные замечания
В этом параграфе, не определяя вида общего решения уравнений первого
приближения, ограничимся напоминанием метода построения
характеристического уравнения и некоторыми другими предварительными
замечаниями, которые понадобятся в дальнейшем.
Для автономной системы (см. с. 21) все коэффициенты a\-j уравнений (4.2)
- постоянные числа. Частное решение этих уравнений ищется в форме
Х\ = AteXt, . . ., хп = Anext, (4.3)
где A j, . . ., Ап, )i - постоянные числа.
Дифференцируя равенства (4.3) по времени, получим:
хг - АгХеи, . . ., хп = АпХем.
Внесем эти выражения для производных хг, и выражения для х1: . . ., хп из
равенств (4.3) в уравнения (4.2) и сократим их на не равный нулю общий
множитель еи. Тогда, после группировки членов, будем иметь
(ап - X) Ах + а12А2 + . . . + а1пАп - О,
a2iAi + ("22 - X) Аг -f- . . . -f- а2"Ап = 0, (4.4)
"ni^i + ап2^2 + • • • + (апп - X) Ап = 0.
Так как эта система линейных однородных алгебраи-
ческих уравнений относительно постоянных Alt . . Ап должна иметь решение,
отличное от нуля (в противном случае все хк = 0), то определитель этой
системы должен равняться нулю:
= 0. (4.5)
X а12 а1п
а21 а22 X • а2П
аШ йП2 • аг, г. X пп
Полученное уравнение относительно X называется характеристическим
уравнением, а соответствующий определитель - характеристическим
определителем.
Характеристическое уравнение содержит неизвестное число X в степени п.
Следовательно, оно имеет п корней
^i, Х2, . . ., Хп.
Если среди корней характеристического уравнения цет равных (корни
простые), то всегда существует такое
§ 4.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
неособенное линейное преобразование
П
Zk = S "кЛ (/с = 1, ..., re), (4.6)
j=i
где а к} - некоторые постоянные числа, которое приводит уравнения первого
приближения (4.2) к виду
Zj = X^z^,
^2 = ^2Z2>
(4.7)
zrt Xnzn.
Переменные zx, . . ., zn называются каноническими переменными (общий
случай преобразования линейных дифференциальных уравнений к каноническим
переменным при наличии кратных корней характеристического уравнения
рассматривается в гл. V). Если применить преобразование (4.6) к
уравнениям возмущенного движения (4.1), то получим
Zx = XxZt -]- Zlt
Z2 = ^2Z2 "1" (^-8)
z" ^nZn -f- Zn.
В этих уравнениях Zx, . . Zn - нелинейные члены, содержащие zx, . . ., zn
в степени, выше первой.
Каждому комплексному корню X = v + гр, характеристического уравнения
(4.5) отвечает сопряженный корень X = v - ipt (v и |ы - вещественные
постоянные числа); им соответствуют комплексно-сопряженные канонические
переменные z - u-\-ivnz = u - iv, где и и у - вещественные функции
времени t. Вещественным корням X характеристического уравнения (4.5)
отвечают вещественные канонические переменные z.
Так как коэффициенты а^ преобразования (4.6) постоянные числа, то из
устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения относительно
переменных х* следует устойчивость (неустойчивость) относительно
канонических переменных zfr и наоборот.
Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные
уравнения возмущенного движения имеют вид уравнений (4.2) или в
канонических переменных - уравнений (4.7). В сделанных предположениях
(корни характеристического уравнения простые) диффе-
4*
100
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
ренциальные уравнения (4.7) независимы друг от друга. Они интегрируются
элементарно и их общее решение имеет вид
*1 = *01^*.
...... (4.9)
Z" ^ Z^ne 11 '
где z01, . . ., zon-значения переменных zl5 . . zn при t = 0.
Пусть Хк = vk + - корень характеристического
уравнения (если 0 и |nfc =/= 0, то корень комплексный,
при vk = 0 и Цк Ф 0 корень чисто мнимый, при [г^ = 0
вещественный и при = 0 нулевой). Имеем
I Л11 =-. I e(v^l)t I = Л* | е***]
или, учитывая, что | е1ы.' | = 1 при любых pfr и t,
|eV| = <?V. (4.10)
Из этого равенства следует, что при t -> оо | б*** | -> 0, если v/? < 0,
| еЧ' | = 1, если Vk = 0, (4.11)
[ | -v оо', если vjt > 0.
Из общего решения (4.9) и предельных равенств (4.11) непосредственно
вытекают следующие теоремы об устойчивости движения линейной автономной
системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай
кратных корней рассматривается в гл. V):
1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения
отрицательны (все Vk < 0), то невозмущенное движение асимптотически
устойчиво (все zk -> -> 0 при t -> оо);
2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один,
