Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение
неустойчиво (хотя бы одно Zk ->- оо при t -> оо);
3. Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения
равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то
невозмущенное движение устойчиво, но ре асимптотически (все zf.
ограничены, и часть из них стремится к нулю) г).
В следующих параграфах этой главы рассматривается влияние нелинейных
членов.
1) Первые два вывода справедливы и для кратных корней характеристического
уравнения.
§ 4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
101
§ 4.3. Основные теоремы об устойчивости по первому приближению
Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению. Если
вещественные части всех корней характеристического уравнения первого
приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически
устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.
Доказательство. Сформулированная теорема Ляпунова справедлива как для
случая кратных, так и для случая простых корней характеристического
уравнения (4.5). Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся
рассмотрением случая простых корней (полное доказательство можно найти,
например, в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина (см. [35,
49, 37])). Итак, будем считать, что все корни характеристического
уравнения простые. Так как вариации хг, . . хп связаны с каноническими
переменными z4, . . ., z" линейным преобразованием (4.6) при постоянных
afcj, то достаточно доказать, что в условиях теоремы невозмущенное
движение асимптотически устойчиво относительно переменных
*1, • • ч zn"
Пусть часть корней характеристического уравнения комплексно-сопряженные,
а часть вещественные. Для определенности будем считать, что имеются две
пары комплексно-сопряженных корней. Занумеруем все корни следующим
образом:
комплексно-сопряженные корни
= V! + ifij, %2 = Хх = v4 - ip-!,
(4. i 2)
= v2 -f- ip2, X^ = = v2 - ip-2*
вещественные корни
^5> • • •! Xn.
Комплексно-сопряженным корням Я4, X2 и X3, Я4 будут отвечать комплексно-
сопряженные канонические переменные Zj, Zj и г" z4
zi = ui + ivii z2 = zi = Щ - Щ,
z3 ~ zz2 -f- i^2, 24 - z3 ~ u% - zy2,
(4.13)
102 ГЛ. IV, УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
где их, и2, vlt v2 - вещественные функции времени t. Вещественным корням
>i-5, Хв, . . Хп отвечают вещественные канонические переменные z5, ze, .
. ., zn.
Составим функцию Ляпунова в следующем виде х):
V = -g- (ziz2 + Z3Z4 -(- Z5 -)- z6 + ... -Т zn). (4.14)
Отметим прежде всего, что функция V является определенно-положительной
вещественной функцией переменных ии их, и2, v2, z6, . . ., zn. Это
следует из равенств
zxz2 = Zlzx = (их + ivx) К - ivx) = ul + v\,
Z3Z4 = Z3Z3 = (u2 -]- iv2) (u2 - iv2) = u] -f- v\.
Вычислим производную V функции V |
V = -g- (ziz3 + Z1Z2 -f- Z3Z4 -(- Z3Z4) + Z5Z5 -(-... + znzn.
Внесем сюда значения zh. из уравнений (4.8)
Т = -g- [(XiZ! + Zl) Z2 + Zi (X2Z2 -)- Z2) + (>-3Z3 -f- Z3) Z4 -J-
+ Z3 (A-4Z4 + Z4)] + Z5(>-5Zr, + Z5) -f • ¦ . + z" (XnZn -(- Zn)
или, группируя члены,
V = ~2~ [(^-l + ^2) Z1Z2 + (>-3 + Xx) Z3Z4] +
+ A5Z5 Xnzn + Z,
где Z - совокупность членов, содержащих z1; . . ., zn в
степени выше второй. Так как, согласно равенствам (4.12),
А-i -f- %2 = 2v^, >1-3 -)- Я-4 = 2v2,
то, учитывая выражения (4.15), получим
V = vx (и* -f- v\) -J- v2 (ul -f- v%) + X5Z5 -f- . . . -f- Xnzh + Z.
(4.10)
l) Если все корни комплексно-сопряженные, то 1
v = -g- (zlz2 + Z3Z4 + • ¦ • + zn_4zn),
если все корни вещественные, то
г =.*.(*;+*?+... + <).
§ 4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
103
По условию теоремы вещественные части всех корней характеристического
уравнения отрицательны. В принятых обозначениях будем иметь
Vi < 0, v2 < 0, < 0, . . Хп С 0.
Из этого следует, что квадратичная часть производной V будет определенно-
отрицательной функцией переменных ии vt, щ, о2, 25, . . г", а вместе с
ней при достаточно
малых значениях | zk | определенно-отрицательной будет и производная V
независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все
условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (§ 2.3), что
доказывает сформулированную теорему.
Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. Если среди
корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с
положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво
независимо от членов выше первого порядка малости.
Доказательство. По условию теоремы хотя бы один корень
характеристического уравнения имеет положи тельную вещественную часть.
Пусть это будет т. е. V! = Re 0. .
Для упрощения доказательства сделаем следующие предположения:
1) вещественные части всех корней не равны нулю;
2) корни . . ., Хп - простые (доказательство теоремы, свободное от этих
ограничений, можно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г.
Четаева, И. Г. Малкина [35, 49, 37]).
Для определенности будем по-прежнему считать, что имеются две пары
комплексно-сопряженных корней (Х1; ^2 - ^i, ^з, ^-4 - Х3), а остальные
