Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Лї = 0 (8.60)
в точке Лив момент времени t. Разность dX» между одновременными значениями декартовых координат точек А и В получается из (8.44), если положить
і р, и dx1 — dt — 0. Тогда
dX* = AUxv. (8.61)
Величина dx1 в (8.44) согласно (8.60) равна нулю, даже при dx1 Ф О,
следовательно, значения dxм> примерно такие же, как и для одновременных
относительно I0 положений точек А IJ В.
В соответствии с общим предположением, сформулированным на стр. 182,
стандартная измерительная линейка в системе R имеет ту же длину, что и из-
з
мерительная линейка в /°, поэтому do2 = S (dX^)2. Учитывая выражения для
ц,= 1
dXвидим, что dt.J2 представляет собой квадратическую форму от дифференциалов (dx*1), т. е.
do2 = Ynv dxv- dxv, (8.62)
где Yliv =А\ At
Теперь из (8.47) и (8.60) получим
gu = Af Aki-A* At= -A? A44,
192
откуда
§|X4/^4 — Snii Y(' §44) — YfAi
где мы положили
— Sii*1 Yi §44) • (8.63)
Более того, из (8.47) при і = ц, k — v следует равенство
что приводит к следующим выражениям для компонент пространственного метрического тензора:
Vnv = ^iivb Ym. Vv- (8.64)
Таким образом, метрический тензор Ynv, определяющий пространственную геометрию в системе отсчета Rt в общем случае не равен пространственной части g^v — 4-тензора gik. Это будет иметь место только при
&ц4 = 0 или Yn = O. (8.65)
В системе координат, где в каждой точке выполняются соотношения (8.65), временная ось везде ортогональна пространственным координатным кривым. Поэтому такая система называется времениортогональной.
Теперь рассмотрим стандартные часы С, покоящиеся в данной точке А
системы отсчета R. Линейный элемент мировой линии этих часов имеет вид
ds2 = gii(dx4)2, (8.66)
поскольку для покоящихся часов dx» = 0. Если t = XiIc — время, показываемое координатными часами в точке А, то приращение с?т0 времени по часам С определяется выражением ds2 = — c2dr0 (см. § 4.5). Это следует немедленно из инвариантности ds2, если ввести мгновенно инерциальную систему покоя J0 часов С. Величина ds2, выраженная через пространственно-временные координаты (X0') этой системы, имеет вид ds2 = — с1 (dT0)2, так как dX0^ — 0. Кроме того, поскольку время T0 само измеряется стандартными часами в системе покоя /°, то dT0 = dx0 и (8.66) можно записать следующим образом:
dr- = —gudflt [(8.66')
Следовательно, функция J ( — g44) определяет соотношение между скоростью хода стандартных часов С и координатных часов в рассматриваемой точке. Итак, величину g14 можно найти экспериментально, измеряя в каком-либо месте отношение скорости хода двух часов. Проделав эту процедуру в каждой точке системы отсчета и во все моменты времени, определим g4f{x‘) как функцию от пространственно-временных координат (Xі).
Метрический тензор Y^v задающий, в соответствии с (8.62), пространственную геометрию в R, также может быть получен прямыми измерениями с помощью метода, аналогичного рассмотренному в § 8.6, для двухмерного случая. Чтобы найти шесть независимых компонент y^\ достаточно в каждой точке и во все моменты времени просто измерить длины шести выбранных должным образом линейных элементов (dxa).
Если бы мы смогли найти метод измерения величины Ym., то тем самым метрический тензор gik был бы полностью определен. Рассмотрим с этой целью световой сигнал, испущенный из точки А с координатами (л:*1) в момент времени t и прибывающий в соседнюю точку В (х1Х + dx») в момент времени t + dt. Мировая линия этого сигнала описывается уравнением
ds2 = gih dx1 dxh = 0, (8.67)
поскольку в инерциальной системе / скорость сигнала равна с. Отсюда следует, что инвариант ds2 = Tjift dXldXk = dX2 + dY'l + dZ2 — сагіГ2 =- 0.
7 Зіік. 1174
193
Используя (8.63), (8.64) и (8.62), уравнение (8.67) запишем в виде
guvdxv- dxv -f 2 Ifll4 dxv-dx** + ^44 (dx4)2 = 0. Разделив его на dt2, получим
W'= {с Y—gu—YhqH2' (8-68)
где = dx^/dt — компоненты скорости светового сигнала, а
w = da/dt = (YnvK^ wv)1/2 (8.69)
— величина его скорости. Пусть е** — единичный вектор в направлении распространения сигнала, т. е.
WV = We*1; Ynv^ev=I- (8,70)
Тогда в соответствии с (8.64) и (8.52) имеем
(Yu е»)2 = Ynv gVye^d9< 1, (8.71)
а из (8.68) для скорости светового сигнала получаем
w{e») = c*!{ 1 + YV^)> №
где
c* = c(-g44yt*. (8.73)
Как видно из (8.72), скорость светового сигнала зависит от направления его распространения. Теперь измерением скорости светового сигнала в трех различных направлениях с помощью (8.72) можно определить три величины
Yn- В принципе, таким методом можно экспериментально определить все величины Ymv, Yh. ^44» т- е- компоненты метрического тензора gik в данной системе пространственно-временных координат.
Величина с* — скорость в направлении, перпендикулярном 3-вектору Yn, когда Yjj^ = 0. Время At, необходимое для прохождения светового сигнала из точки р (X**) в бесконечно близкую точку Xv- dx*1 на расстоянии da от р и обратно, равно
Af = (l + Yn do/с* -f (I — Уне‘l)da/c* = 1/с*, (8.74)
