Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, если мы с помощью стандартной линейки измерим расстояние между двумя точками на диске (г, ft) и (г + dr, ft), то получим
do = dr, (8.5)
182
поскольку скорость линейки относительно / перпендикулярна к направлению линейки и не приводит к лоренцеву сокращению. Если же мы рассмотрим на диске две точки с координатами (г, О) и (г, €¦ + dft), то окажется, что измерительная линейка, соединяющая эти две точки, имеет скорость rto относительно /, параллельную направлению линейки. Это приводит к сокращению измерительной линейки относительно системы I в соответствии с формулой Лоренца (2.33). Поэтому расстояние между двумя точками, измеренное сократившейся линейкой, будет равно
do = г d$lV 1 —г2 со3/с2. (8.6)
Аналогичным образом, повторяя предыдущие рассуждения и используя теорему Пифагора, найдем расстояние da между двумя соседними точками (г, Ф) и (г + dr,® jT dft), измеренное на диске стандартной линейкой:
da2 = dr% + г2 d&V(l—r2 to 2/с2). (8.7)
Ясно, что геометрические соотношения, полученные с помощью стандартных измерительных линеек, покоящихся относительно диска, в общем случае отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Рассмотрим, например, кривую, заданную уравнением г = const. Эта кривая в соответствии с (8.5) представляет собой окружность радиуса г. Однако длина этой окружности, в соответствии с (8.6), равна
2зт
I т садЛ— г2 (О2/? = 2зхг/ Y1—г2«2/с2. (8.8)
о
Поэтому отношение длины окружности к ее радиусу равно не 2я, а 2л/К 1 — г2б>2/са > 2я,
Таким образом, общий принцип относительности, в соответствии с которым при описании природы ускоренные системы координат и инерциальные системы эквивалентны, заставляет нас в некоторых случаях отказаться от евклидовой геометрии, которая даже в специальной теории относительности считалась единственным средством описания пространства, что, в частности, еще отстаивал и Кант. Кроме того, в ускоренных системах отсчета в общем случае невозможно использовать декартовы координаты (см. § 8.6), и мы вынуждены при определении точек физического пространства пользоваться общими криволинейными координатами.
Общий принцип относительности требует также нового пересмотра понятия времени. В СТО время в инерциальной системе определялось с помощью стандартных часов, размещенных в различных точках системы и синхронизированных с помощью световых сигналов методом, рассмотренным в § 2.2. Двое часов, отрегулированных таким методом, синхронно отсчитывают время. Аналогично можно определить время во вращающейся системе координат, используя стандартные часы, закрепленные в различных точках этой системы и отрегулированные в соответствии со стандартными часами инерциальной системы I. Такую регулировку можно сделать, например, устанавливая часы во вращающейся системе на нуль и пуская их в тот момент времени, когда часы в системе /, с которыми они совпадают, показывают нулевое время. Тогда во вращающейся системе t = 0 при T = 0. Однако стандартные часы в точке (г, #) на диске имеют относительно системы I скорость г о) и потому, согласно •(?.36), отстают по сравнению с часами в /, так что в последующее время имеем
t - TV І— г2со2/с2. (8.9)
Это означает, что, в соответствии с предположением § 2.6, только скорость, ;; не ускорение, влияет на темп хода стандартных часов. На самом деле, достаточно сильные ускорения будут, конечно, оказывать влияние на скорость холп реальных часов = часы, упавшие ка пол), но такой эффект, зависящий лишь
183
от материала часов, может быть легко учтен, как и деформация измерительной линейки [168, 169].
Описание времени во вращающейся системе, которое получается при использовании временной переменной t, определяемой формулой (8.9), оказывается, однако, чрезвычайно неудобным (хотя в принципе допустимым). Представим, например, источник света (атом), расположенный в точке А (г, ft) и испускающий свет с собственной частотой v0. Число световых волн, испущенных за время равно, по определению, V0. Тогда количество
волн, испущенных за время 0 ^ 1, равно, согласно (8.9), V0VaI —г2со2/с2.
Такое же количество волн прибудет в центр 0 (г = 0) в течение интервала времени 0 T 1 ИЛИ, поскольку t — T при Г S= 0, в течение времени 0 < / < 1.
Следовательно, по шкале времени і количество волн, испущенных из точки А за единицу времени, больше количества волн, прибывших за это же время в центр 0. Поэтому использование этой временной переменной приводит к очень сложному описанию распространения света. Даннсе рассуждение показывает, что в ускоренных системах отсчета неудобно использовать временную переменную, определяемую стандартными часами, и что значительно проще пользоваться часами с различной скоростью хода. Например, в случае вращающегося диска удобнее всего использовать координатные часы, скорость хода которых в любом месте в (1 — г2со2/с2)—1/2 выше скорости хода соответствующих стандартных часов. Тогда временная координата t, определяемая этими координатными часами, совпадает с временной координатой в системе /, т. е. вместо (8.9) имеем
