Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
в системе I соотношение (8.114) приводит к формуле
dx0 = dt Y1—и2/с2 = dt YI—r2o)2/c2. (8.118)
200
С другой стороны, в системе S скорость и = О, но присутствует гравитационное поле х — —г2со2/2 и (8.114) снова приводит к тем же соотношениям (8.117) или (8.118). Таким образом, наблюдатель в S запаздывание стандартных часов объяснит действием гравитационного поля во вращающейся системе.
§ 8.13. Преобразование координат в фиксированном системе 'отсчета
Пусть (х1) — пространственно-временные координаты, соответствующие некоторой системе отсчета R. С помощью преобразований (8.59) можно внутри той же системы R ввести новые пространственно-временные координаты. Такие преобразования дают просто другой способ упорядочивания точек в системе R вместе с произвольным изменением хода и размещения координатных часов. Это, естественно, не может привести к изменению пространственной геометрии в R, определенной с помощью стандартных измерительных линеек, т. е. интервал do, определяемый соотношениями (8.62), (8.64) и (8.63), должен быть инвариантом при таких преобразованиях. Формальное доказательство этого утверждения приведено в § 9.16.
Поскольку в данном случае система отсчета не изменяется, гравитационное поле следует считать неизменным. Однако, в соответствии с (8.57), гравитационные потенциалы (%, Yti), описываемые формулами (8.109) и (8.63), будут трансформироваться. Преобразования такого вида аналогичны калибровочным преобразованиям (5.23) для электромагнитных потенциалов, при которых сами потенциалы изменяются, а электромагнитное поле, определяемое этими потенциалами, остается неизменным. Во многих случаях можно с помощью таких «калибровочных преобразований» гравитационных потенциалов привести их к более простому виду. Во-первых, преобразованиями вида
х>\> = х»х х'4 = х'4 = f (Xi) (8.119)
всегда можно добиться того, чтобы в системе (х'1') скалярный потенциал обратился в нуль. Для этого необходимо лишь выбрать новую временную переменную f = XiIc так, чтобы новые координатные часы имели такую же скорость хода, что и покоящиеся стандартные часы. С учетом (8.66') и (8.116) новая временная переменная определяется из соотношения
/' = T0 =^V-Sn dt + q(x*) = JKl +2 х/с2 dt + yp(x»}, (8.120)
о о
где интегрирование производится при неизменных значениях пространственных координат а -ф (я**) — произвольная функция от Xv-. При таком выборе t', учитывая, что (8.116) справедливо и в новой системе координат, получаем
dt' = dx(} = dt' V1 -г 2%'/с2 =dt' У—g'u, т. е. Х' = 0; (8.121)
В качестве примера используем преобразование (8.120), где \р = 0 во вращающейся системе отсчета. Поскольку в этой системе t — Т, новая временная переменная t' в (8.120) будет определяться, очевидно, преобразованием (8.9), от которого мы отказались из практических соображений (§8.3). Однако в принципе допустимо и использование временной координаты t из (8.9). Несложное вычисление показывает, что в этой новой системе координат линейный элемент ds имеет форму
ds> = (I _ U«+г*і+ dz»--------------drM -
Л (1— Л2 С02/С2)2 J (1—/-2fi)2/C2) У
2r^t drdt + - ¦ ¦ 2cor2------dMt — c4t\ (8.122)
I —a2 Oi2Zc2 J/l—г2ш2/с2
20!
V — І гш t/6 шг /g Ol • V — О-
'Iа I t .«,.Я/.» ’ /. -0.,2/^1/2 ’ I ’ X —U>
(8.123)
В новой системе координат мы имеем более сложную зависимость компонент gih от t, но получаем упрощение в том, что скалярный потенциал исчезает. Из (8.63), (8.64) и (8.109) получаем в этой системе
ГО)2 t/c О)Г2/С
1—Г2 О)2/с2 ’ (1—Г2 О)2/с2)1
Tu=I; Y22 = r2/(1— г2ш2/с2); Y33= 1;
Ynv = O при [x=jt=v
Следовательно, пространственный метрический тензор Ynv остается неизменным, что и должно быть при чисто временных преобразованиях. Однако векторный потенциал имеет несколько более сложный вид [см. (8.80)], поскольку Yi не равен нулю и зависит от времени.
Данный пример показывает, что преобразование (8.120), при котором скалярный потенциал исчезает, не обладает особыми преимуществами. Более выгодно было бы преобразованиями вида (8.119) исключить векторный потенциал Yn* поскольку тогда новая система координат будет времениортогональ-ной и все формулы значительно упростятся. Поэтому попробуем найти такие преобразования (8.119), чтобы
Y1I = O ((1=1,2,3). (8.124)
Для удобства в каждой системе координат введем четырехкомпонентную величину Oi'.
^ = Iy ц(—Ы~1/2> — 1} = ?м/(—Sn)- (8-125)
Тогда выражение (8.76') для линейного элемента можно записать в виде
ds3 = do2+gu (оі dx1)2. (8.126)
Поскольку при преобразовании (8.119) ds2 и do2 инвариантны, g[A (dx'*)2 =
= ga (OidxiYi или
dx'* = (dfldx') dx1 = Л(тг dx1, (8.127)
где
A2 = g44/g;4^0. (8.127')
Из (8.127) имеем чегыре уравнения
Bffdxi = Aoit (8.128)
которые после исключения Л приводят к следующим трем уравнениям для определения функции I (л:) в (8.119):
df/dx*1 +OllBf Idxi = 0. (8.129)
Система дифференциальных уравнений (8.129) имеет решение при выполнении некоторых условий совместности. Пусть
Olli ~ dldx*1 + Otl Djdxi (8.130)
