Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
— три дифференциальных оператора. Тогда (8.129) запишется в виде
^/(JC) = O. (8.131)
Умножая это уравнение на оператор Sv и вычитая из него уравнение, полученное перестановкой индексов [і и v, получаем
IdlltZvJf(X) = 0, (8.132)
202
где Idfj,, dv] — коммутатор операторов Ofji н dv. Поскольку дифференциальные операторы д/дх‘ в (8.130) коммутируют, (8.132) можно привести к виду
-^7 (дрОу-Ov о») = 0. (8.133)
ОХ*
Кроме того, учитывая, что df/dx* = — A Ф 0, из (8.125), (8.128) и (8.127') имеем следующие условия интегрируемости уравнений (8.129):
^hCtv- 0. (8.134)
Это общие условия, которым должны удовлетворять динамические гравитационные потенциалы, чтобы векторный потенциал с помощью преобразований (8.119) можно было обратить в куль [279, 280]. Условия (8.134) можно записать также в виде
wIiv — 0, (8.134')
где
соцу = с* (dfl ov—Dv Оц)/2 (8.135)
является инвариантом относительно всех преобразований типа (8.119) и имеет
простой физический смысл (см. § 9.16 и 9.6).
Для вращающейся системы отсчета с метрическим тензором (8.79), (7.80) или (8.122), (8.123) с помощью (8.135), (8.125) и (8.130) легко показать, что компонента
Oii2= —Oi21 = дй/(1—г2со2/с2)3/2 (8.136)
отлична от нуля при г > 0. Таким образом, во вращающейся системе отсчета
условия (8.134) не выполняются, и невозможно ввести времениортогональ-ную систему координат.
В данной системе отсчета R гравитационное поле называется стационарным, если соответствующим выбором пространственно-временных координат в R можно добиться, чтобы все компоненты т. е. Yjiv, х, Yn, не зависели от времени. Такая система координат сама называется стационарной. Если одновременно с этим Yn обратится в нуль, то такое гравитационное поле и соответствующая система координат называются статическими. Следовательно, гравитационное поле в равномерно вращающейся системе стационарное; система координат с метрическим тензором (8.78) — стационарная, а система (8.122) — нестационарная.
§ 8.14. Другие простые примеры ускоренных систем отсчета
Пусть снова Xі — (X, Y, Z, сТ) — пространственно-временные координаты в инерциальной системе /. Тогда преобразования Галилея (1.2)
* = X — vT; у = Y; г = Z; t = T (8.137)
определяют новую систему отсчета /', являющуюся, очевидно, инерциальной системой, движущейся относительно / в направлении оси X CO скоростью V, поскольку каждая точка (л:, у, z) = const системы /' движется с той же скоростью V. Если положить (Xі) = (х, у, z, ct), то интервал ds будет иметь вид
ds2 = gik dx1 dxk = Tiift dXl dXk =
= dx2 + dy2 + dz2 -f 2 vdxdt—c2 dt2(l — V2Jc2), (8.138)
т. e. gn = ga = g3,= 1; &14 = gti = vI c> Sn = — (1 — W)
(все остальные компоненты gih равны нулю). Следовательно, система координат (х') не времениортогональная и из (8.63), (8.64) и (8.109) имеем
Y ц = ^//?=^, 0, 0); % = —v2/2; (8.139}
Yn ~ 1/(1 у“/с2); Y22“Y33=1’ Ynv = O при \i=f=v.
203
Поскольку гравитационные потенциалы постоянные, гравитационное поле, определяемое соотношением (8.110), в Г отсутствует и преобразованиями (8.59) с / в форме (8.120) можно исключить потенциалы. Вводя новые координаты Xй = (X', Yr, Z', сТ') по формулам
X' = xlY I — V2Ici; Y' = Y- Z = г; T = YI — ^2/с21—Vxlc2 Y1 — ^2Zc2; ds2 = dX'2 + Gtr2 -f dZ'2 — C2 dT'\
(8.140)
получаем
g/* = iHffc; Yilv = Snv; Ytl = °; х' = °* (8.i4i>
Координаты (Xfi) являются лоренцевыми координатами в /'; они связаны с (Xі) специальными преобразованиями Лоренца.
В качестве другого примера рассмотрим ускоренную систему, определяемую преобразованиями
Х = х+ gtV2\ Y = у, Z = z; T = t, (8.142)
Каждая точка в системе отсчета (Xі) имеет постоянное ускорение g относитель-
но системы / в направлении оси X. Простые вычисления дают
ds2 = dx2 + dу2 + dz2 -f 2gtdxdt—с2 dt2 ( I — g2 і 2/с2), (8.143)
т- е. gu=gS2 = gi3=U gi» = gtl = gt/c, c?git= —с2(1—g2f2/c2),
все остальные компоненты равны нулю. Следовательно,
Yn = (gtlcYl—g2t2/c*, 0. 0). X = -Sa**/ 2; Ї (8.!44)
Yn= 1/(1— g2t2lc2); Y*a = Y»=l; Yj*v = 0 при |i=f=v.J
Эта система координат соответствует физически реализуемой системе отсчета только при t = T < с/g’, так как в этом случае скорость gt точек рассматриваемой системы отсчета относительно / меньше с, a g44 «< 0. Пространственная геометрия этой системы определяется пространственным линейным элементом
do2 = ytlvdxvdxv = dx2/(l— g2l2lc2) + dy2 + dz2. (8.145)
Эта геометрия неевклидова вследствие лоренцева сокращения измерительных линеек в движущейся системе. Поскольку в данном случае Cofxv - 0 (8.135), преобразованиями (8.119) можно исключить векторный потенциал. Интегрируя уравнения (8.129), находим, что преобразования
Xr = X; у' = у\ z' = z-, Г = /ехр[—g(x + gt2j2)/c2] (8.146)
приводят к желаемому результату, т. е. если ds2 записан в форме (8.126), то в новых координатах имеем
ds2 = dx,2/(i—g2t2/c2) + dy'2 -j- dz'2 -f- g\. с2 dt'2. (8.147)
Здесь
g’t4 = —exp [2g (I + gl2/2)Ic2} 1(1—g2 t2!c2) = —exp (2gX/c2)l(\ ~g2T2lc2);) л
