Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(8.37). В этом случае геометрия на поверхности уже не евклидова, а риманова. Во всяком случае, геометрию на поверхности можно определить с помощью одних только измерений на ней, т. е. без использования координат евклидова пространства, в которое вложена данная поверхность. Предположим, что мы ввели некоторую систему координат Xі, т. е. непрерывное взаимно однозначное соответствие системы чисел (Xі) н точек на поверхности. С помощью измерительной линейки можно измерить расстояние ds между точками Xі и Xі + dx1. Поскольку ds и dx'- известные числа, формула (8.18) дает одно уравнение ДЛЯ определения неизвестных gif.. Ho двухмерный метрический тензор имеет только три независимые компоненты. Поэтому, измеряя три линейных элемента по разным направлениям с общим началом в точке х‘, полностью определим значения gik в этой точке. Это можно проделать для любой точки поверхности и тем самым экспериментально определить метрический тензор.
Таким образом, геометрия на поверхности становится эмпирической, и исследование ее ограничено лишь точностью измерений. Теперь вообразим, что мы нагреваем поверхность в окрестности точки, где приложена измерительная
188
линейка, в результате чего она удлиняется. Если не учитывать это удлинение, то с помощью описанного выше метода получаются неточные значения для компонент метрического тензора. Однако, поскольку термическое расширение зависит от материала измерительных линеек, такую погрешность легко учесть и получить «реальные» значения для компонент метрического тензора. С другой стороны, очевидно, что если все измерительные линейки вблизи данной точки по какой-либо причине удлинились в одинаковой степени, независимо от материала линеек, то такое удлинение невозможно заметить и учесть однозначным образом. Поэтому нельзя утверждать, что такое удлинение имеет место, а с физической точки зрения метрический тензор и другие геометрические величины, полученные с помощью таких измерений, должны давать «реальную» геометрию на поверхности.
Все рассуждения данного параграфа для случая двух измерений можно обобщить на пространства 3, 4 и л измерений. Разница лишь в том, что точки в я-мерном пространстве характеризуются п координатами Xі и все индексы в предыдущих формулах должны теперь изменяться'от 1 до п. Тогда длина линейного элемента и угол между двумя линейными элементами снова определяются формулами (8.18) и (8.19) соответственно, а геодезические линии — с помощью п уравнений (8.30) или из вариационного принципа (8.21), (8.22), (8.29).
§ 8.7. Общие ускоренные системы отсчета.
Наиболее общие допустимые преобразования координат
В § 8.3 мы выяснили, что пространственная геометрия в равномерно вращающейся системе отсчета неевклидова, а описание времени более сложное, чем в инерциальной системе, что можно объяснить влиянием гравитационного поля, присутствующего во вращающейся системе отсчета. Поэтому, в соответствии с принципом эквивалентности, мы должны ожидать, что гравитационное поле в общем случае будет проявлять себя не только в виде гравитационных сил (центробежные силы, силы Кориолиса, силы притяжения между массами и т. д.), но и сказываться на результатах пространственных и временных измерений.
Рассмотрим снова инерциальную систему / с обычными пространственно-временными координатами (X, Y, Z, Т). Каждой совокупности значений этих переменных соответствует определенное событие, представляющее собой точку в (3 + 1)-пространстве с координатами
Xі = (X, Yt Zy Т). (8.39)
Лоренцевы координаты (8.39) отличаются от координат, определенных в (4.2), только отсутствием множителя і, в четвертой координате. Следовательно, четырехмерный линейный элемент (4.26) принимает форму
ds- = GfX2 + AY2 + ^Z2-C2 dT2 = T|ifc dX* dX\ (8.40)
где
10 при і Ф k\
1 при i = k= 1,2, 3; (8.41)
— 1 при t = = 4.
Теперь вместо псевдодекартовых координат Лоренца Xі введем общие криволинейные координаты Xі с помощью преобразований
Xi = Xi(Xb)1 (8.42)
где Xі (Xk) — произвольные непрерывные дифференцируемые функции переменных (Xk). Преобразования (8.1), (8.3), (8.10) являются частным случаем
189
(8.42). Дифференцируя]Г(8.42), получаем
dxf = —hdXk = AidX*.
dXk
(8.43)
Из соотношений, обратных (8.42), тем же способом получим
dXi = J±- dxk= Ai dxK
dxk
(8.44)
(8.45)
Аналогично подставляя (8.43) в (8.44), имеем
А\ АІ = &k.
(8.45')
Затем, исключая dXl в (8.40),_получаем следующее выражение для интервала:
(Греческие индексы пробегают значения от 1 до 3, а латинские — от 1 до 4.)
Система S координат (хг) в 4-пространстве, заданная преобразованиями (8.42), соответствует некоторой системе отсчета R в трехмерном физическом пространстве. Точка отсчета р в R определяется как точка с постоянными значениями трех пространственных координат (Xti), а координаты Xі = (х<\ ct) с изменяющимся t описывают последовательные события в р. Тогда система отсчета R, соответствующая системе координат S, определяется как совокупность всех точек отсчета р с различными постоянными значениями (Xfi). В общем случае такая система отсчета уже не будет жесткой, поскольку различные точки отсчета могут иметь различные скорости относительно /. Поэтому движение различных точек в системе отсчета будет аналогично движению жидкости, и мы ограничимся лишь такими преобразованиями (8.42), для которых соответствующая система отсчета может быть описана реальной жидкостью. Это значит, что скорости всех точек в системе отсчета относительно / должны всегда быть меньше с. Поскольку для любой такой точки dx** = О, ДЛЯ компонент ее скорости Z# относительно / из (8.44) получим
