Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Xi = V(K), ('=I, 2. (8.20)
Пусть L=L (х1, Xі) — заданная функция переменных Xі и Xі = dx4dX. Кривая (8.20), соединяющая две фиксированные точки P1 и Po, которая дает ин-
тегралу j L (х1, Xі) dX стационарное значение, определяется условием 'Al
хг
6 Jj L (Xі, xi)dk = Q (8.21)
для всех инфиннтезпмальных вариаций Ьх‘ (X), удовлетворяющих граничному условию
Sxi (X1) = 6х' (X2) ---- 0. (8.22)
Следовательно,
>,г A2
б Jy L dX = 5 {(дЦдх1) Sxi (X) + {дIJdxi) 6.v< (A,)) dX, (8.23)
Xi Xi
и, поскольку 6а-; = d (Sxi)IdX, интегрируя последнюю величину в (8.23) по частям и учитывая (8.22), получаем
б 5 LdX= 5 {dL/dxt—d(дЦдх1)/dX} 6xl (X) dX.
Xi Xi
Этот интеграл может равняться нулю при всех возможных вариациях 6*1 (X) только в том случае, когда множитель в фигурных скобках для всех точек
кривой равен нулю. Следовательно, вариационный принцип (8.21),(8.22) экви-
валентен дифференциальным уравнениям Эйлера:
d/dX (dL/dxl) — dL/dx? = 0,
Xi=^dXiIdX. (8.24)
186
Если L — однородная функция п-н степени от переменных Xі, то
X1 OLldxi = tiL,
(8.25)
и легко видеть, чго при п Ф 1 функция L (х1, х‘) должна быть тогда постоянной вдоль кривой, удовлетворяющей дифференциальным уравнениям (8.24). В самом деле, из (8.24) и (8.25) имеем
является интегралом уравнений (8.24). Теперь геодезические линии определим из вариационного принципа (8.21), где
представляют собой два дифференциальных уравнения второго порядка для двух функций х‘ ().). Поскольку L в (8.29) — однородная функция второй степени относительно Л'1',
является интегралом системы (8.30). Соответствующим выбором параметра л всегда можно добиться, чтобы постоянная в правой части (8.31) равнялась единице. Это означает, что в качестве параметра к мы выбрали длину дуги у геодезической линии. Тогда (8.30) и (8.31) примут вид
Видно, что кривые, определяемые соотношениями (8.30) и (8.31), удовлетворяют также уравнениям Эйлера (8.24), где L — lgt-k ((IxiZdX) (dxil/dk)]1 /2. Это означает, что геодезические удовлетворяют также вариационному уравнению
т. е. расстояние между двумя точками, измеренное вдоль геодезической, соединяющей эти две точки, имеет стационарное значение. Теперь при заданном метрическом тензоре gik как функции от координат Xі геодезические и углы между двумя пересекающимися геодезическими, как и расстояние между двумя точками, измеренное вдоль соединяющей их геодезической, полностью определяются соотношениями (8.32), (8.19) и (8.18). Поэтому мы можем вывести все геометрические теоремы о треугольниках и других геометрических фигурах, образованных геодезическими на поверхности. Это значит, что геометрия в двухмерном пространстве полностью определяется величинами gih (х1).
(8.26)
Следовательно,
(п — I) dLldl = 0.
(8.27)
Если п Ф 1, то
L (х1, Xі) = const
(8.28)
L (Xі, Xі) — gik IdxiIdty (dxkldty = (ds/dX)2. Соответствующие уравнения Эйлера (8.24)
d (gih dxkjdk)/dX = (OghlIdxi) (dxk/dX) (dxIJdK)j2
(8.29)
(8.30)
L = gih (dx‘fdh) (dxkfdK) = (ds/dty2 = const
(8.31)
d (gih dxk/ds)/ds = (OghIldxi) (dxkJds) (dxl!ds)/2, gih (dx‘/ds) (dxk/ds) = I.
(8.32)
(8.33)
187
§ 8.6. Непосредственное измерение метрики.
Геометрия n-мерного пространства
Выводы предыдущего параграфа совершенно не зависят от используемой системы координат. Если мы возьмем другую систему криволинейных координат хч, связанных с первоначальными координатами Xі соотношениями
Xа =P (х1, X2), (8.34)
то
dxn = (Df1Idxk) dxk, (8.35)
т. е. дифференциалы координат выражаются друг через друга линейно. Поэтому если с помощью (8.35) исключить dx? в (8.18), то ds2 также будет являться однородной квадратической формой от dxn\
ds2 = gikdxl dxk = gik dx'1 dx'k, (8.36)
где коэффициенты gik считаются функциями от новых переменных хи.
Поскольку геодезические определяются инвариантным вариационным принципом (8.21), (8.29), дифференциальные уравнения для геодезических в новых переменных получакпся из (8.30) или (8,32) простой заменой gik и Xі на gik и Xі соответственно; другими словами, уравнения (8.30) ковариантны или форм-инвариантны. То же самое справедливо и для формулы (8.19).
Если преобразованием типа (8.34) можно ввести такие координаты Xі = = /1' (xk), что линейный элемент в новых координатах будет иметь форму
ds‘г = (dX*)2 + (dX2)2 = 6ih dX* dX*, (8.37)
то геометрия на поверхности — евклидова. В этом случае координаты Xі играют ту же роль, что и декартовы координаты в евклидовой плоскости. Дифференциальные уравнения геодезических (8.32) в переменных Xі сводятся к уравнениям
d2X4ds2 = 0, (8.38)
совпадающим по форме с уравнениями прямых в декартовых координатах. Примерами таких поверхностей являются поверхности цилиндра и конуса, которые могут быть развернуты на плоскости без внутренних деформаций. На таких поверхностях все геометрические соотношения для треугольников H других фигур совпадают с соотношениями евклидовой геометрии; и если нас интересует лишь двухмерная геометрия на поверхности, то такие поверхности можно считать тождественными. Вообще, на поверхности невозможно ввести такие (декартовы) координаты, чтобы линейный элемент описывался формулой
