Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
где I = 2do — полное расстояние, пройденное световым сигналом. Таким образом, с* равна средней скорости светового сигнала и может быть найдена из эксперимента типа опыта Физо (см. § 1.6), если время измеряется координатными часами в р, а обе точки расположены так близко, что Yu, с* можно
считать постоянными вдоль пути.Сдругой стороны, если время и расстояние
измеряются с помощью покоящихся стандартных часов и стандартной измерительной линейки, то тот же эксперимент для средней скорости сигнала даст значение с, поскольку в соответствии с (8.66')
Дт0 = (-Ы1/2Л*. (8-75)
Снова это справедливо лишь в тех случаях, когда с* и Yn практически постоянны вдоль пути светового сигнала. На больших расстояниях, когда g44, Yn сильно изменяются, опыт Физо дает различные значения для средней скорости света (см. § 12.4). Выраженный через величины Ynv, Ym- и с*> определенные формулами (8.63), (8.64) и (8.73), линейный элемент ds имеет вид
as2 = gik dx1 dxk = Ynv dxv- dxv — (c* dt—Ym dx^)2, (8.76)
или с учетом (8.62)
ds2 = do2—(с* dt—Y^dxv-)2. (8.76')
134
§ 8.9. Пространственная геометрия во вращающейся системе отсчета
Рассмотрим снова введенную в § 8.3 вращающуюся систему координат. Из (8.1) ----- (8.3) и (8.10) получим преобразования (8.42) или соответствующие им обратные преобразования в форме
X = г cos (#-{-(,>/); V = г sin (0- + (0^); '
Z =--2-, T =- f, (8.77)
Xі — (г, г, ct).
Дифференцируя н подставляя значения (dX, dY, dZ, dT) в выражение для
интервала ds2 = dX~ -f dY'2 + dZ2 — c“dT'2, получаем
Js2 = dr 4- r2d-&’2-{- с/г2 + 2wr2 dftdt — (с2 — г2 со2) df2 — glb dxldxk. (8.78)
Таким образом,
Sn = J Srss = і; Sn = — (і — >'2 ю8/с*); gu = g42 = с. (8.79)
Все остальные компоненты gik равны нулю. В результате с учетом (8.63) .и (8.64) находим, что
Yu = (О, оіг"I Vvt — г2 со2, 0) = ((о,--2/ Vc2 — г2 со2) Sja2; 1 /8>80)
Yi1 = I; Y22 = г2/(1— г3CO2Zc2); Y33=I; Ynv = OnpHjATfcv.)
Следовательно, вычислив с помощью (8.62) и (8.80) линейный элемент da2, снова получим выражение (8.7). Кроме того, (8.66') вместе с (8.79) для gi4 опять приводит к (8.9). і .
Пространственная геометрия, определяемая линейным элементом da2 = -¦ yf,ivdlldxv, неевклидова. В плоскости 2 = Z = 0, т. е. на вращающемся диске, имеем лишь две координаты^1, х2) = (г, Ф), и геодезические определяются уравнениями (8.39), в которых gik и ds заменяются на Ynv и do соответственно, т. е.
— I Ynv ——) -= (дучх/дх») (dx^lda) (dxKjda)t2, (8.81а)
do \ ао 1
Ynv (dx^jda) (dxy/da) = I. (8.816)
В нашем случае из второго уравнения (8.81 а) с учетом (8.80) имеем
а [г2/(1 —со2—г21 с2) db/da]jda = 0.
Интегрируя, получаем
[r2/(l—r2co2/c2)] ft = а, (8.82)
где а — постоянная интегрирования, а # = dft/'do.
Следовательно,
0 = а(1— г (H2Ir)Ir2. (8.83)
Далее, из (8.81 б) находим, что
г2 + [г2/( 1 — г2 or/с2)] Ч)2 = 1,
г= ± У^(1-fa2to2/c3—а2/г2)- (8.84)
В результате
* г , Г’У 1 +
aJ COi
dO ч> /, г2 CD2
а 1 —
(8.85)
Если а равна нулю, то из (8.82) $ = 0, т. е. радиус-вектор с TrI1-Const является геодезической. На рис. 17 в евклидовой плоскости изображены некоторые из
195
геодезических на вращающемся диске. Здесь точки на вращающемся диске с координатами г, О считаются точками с полярными координатами г, О. Поэтому геодезические на вращающемся диске изображаются такими кривыми в неподвижной плоскости X, Y, с которыми в момент времени /=T = ~п 2зт/со они совпадают. Радиус г* диска определяется условием (8.4), т. е.
г* = с/т. (8.86)
Для геодезических OB и OA а = 0. Геодезическая AB, выходящая из точки (г0, 0) при г = 0, соответствует а#0, что следует из (8.83), (8.84):
a. = -O-Q rg/(l —(H2Ic2) = T0IY1 — г20®2/с2. (8.87)
С увеличением О радиус-вектор г также увеличивается в соответствии с (8.85), причем здесь dridft больше, чем в предельном случае с-*- оо , для которого
dr/dО - г (г2 — а2)1/2/®. (8.88)
Пунктирная линия на рис. 17 определяет-ся уравнением (8.88). Если бы геометрия на вращающемся диске была евклидова, то эта линия являлась бы геодезической. Если г —>- г* =ско, то, согласно (8.83),
О —у О и поэтому OB является касательной к геодезической AB в точке В.
Рассмотрим две геодезические х^ = Рис. 17. =X^ (а), х^ = Л'^(а), пересекающиеся вод-
ной точке. Угол 0 между этими кривыми в точке пересечения определяется из (8.19). Следовательно, с учетом (8.80) н
(8.83) имеем
COS 0= zh Yl I + aI «2/С2— CL21IГ2) ( I H- 0б| 0)2/с2- a\lr2) jT
H- Ot1 Ot2 (1—г* IO2Jc-)/г2, (8.89)
где Ct1 и а2 — значения постоянной а для этих двух геодезических. Данное выражение можно использовать везде, кроме точки О. Рассмотрим теперь треугольник OAВ. В точке О угол между двумя сторонами треугольника равен B0 = Фв< я/2, так как в центре диска геометрия евклидова. Угол между геодезическими АО и AB найдем из (8.89), полагая
Ci1 = O; O2 = a = r0/]/l—г^со2/с2, тогда CosOi4-—]/{1-j-а2 (м2/с2—1//^))=0, т. е. 0л — ^/2.
И наконец, угол ©в между геодезическими BA и ВО найдем из (8.89), полагая CC1 = 0, а.2 = — а, г = г* — с/or.
