Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
cos 0В = |^{1 + a2 ((J)2Jc2 — со2/с2)} = I, Os = 0.
Следовательно,
0олв — Oo ~Ь 0л = “Ь л/2 <С^,
т. е. сумма углов треугольника на вращающемся диске меньше п. И только если треугольник расположен близко к центру, сумма его углов равна примерно а. На вращающемся диске существует даже треугольник с суммой углов, равной нулю, например треугольник CBD, образованный геодезическими СВ, BD и DC.
Таким образом, для всех треугольников на вращающемся диске сумма их углов лежит в пределах от 0 до л. Пространственная геометрия, определяемая наблюдателем ка вращающемся диске, соответствует геометрии на поверхности отрицательной кривизны в трехмерном евклидовом пространстве.
196
Во вращающейся системе иногда удобно использовать другую совокупность пространственных координат (х, у, z), связанных с цилиндрическими координатами преобразованиями
х = г cos у = г sin д; г2 = A'2 + у2. (8.90)
В этих координатах линейный элемент (8.79) принимает форму
ds2 — dx24- dy2-f dz2 + 2« (—ydx-j- xdy) dt—(I — r2(o2/c2) C2 dt2. (8.91)
§ 8.10. Мировые линии свободных частиц и световых лучей
Рассмотрим материальную частицу, движущуюся лишь под действием гравитационных полей, возникающих в ускоренной системе отсчета с координатами (Xі). Поскольку предполагается, что эти поля устранимые, их можно исключить преобразованием к псевдодекартовым координатам (Xі) инерциальной системы I, с которой мы начали рассмотрение § 8.7. В этой системе движение частицы равномерное, так что ее мировая линия — прямая, опреде-
ляемая из уравнения
d2 XiIdl2 = O, (8.92)
где 1K— произвольный параметр, являющийся линейной функцией от собственного времени T частицы. Другими словами, мировая линия свободно падающей частицы является геодезической в 4-пространстве. В произвольной системе криволинейных координат (хг) уравнения для геодезической проще всего получить из вариационного принципа (8.21), (8.29), где теперь индексы i, k пробегают значения от 1 до 4, т. е.
I'! . .
— — dX = 0. (8.93)
в f gth
dh dh
Соответствующие уравнения Эйлера (8.30) следующие:
1Г ( *"?)¦-T ^^ '-*.*¦ 3.4 (8.94)
с интегралом (8.31), т. е.
ds \ 2 dx1 dxk . /о nc\
ж) =г'*"5Г "ІГ"С (8'95)
В отличие от случая, рассмотренного в § 8.5, метрический тензор в 4-пространстве не является положительно определенным. Поэтому постоянная в правой части (8.95) может быть положительной, отрицательной и равной нулю, и соответствующие геодезические линии будем называть пространственноподобными, времениподобными и нулевыми. Интеграл в (8.93) не является инвариантом при произвольных преобразованиях параметра К. Поэтому уравнение (8.94) также изменяется при введении нового параметра К' = f (к). В результате вместо (8.94) будем иметь
„ dx*\ I dgkl dxk dxl dzV (d%\ 2 dxk /cn,„
gik -ZT7 -T-г -ЗГГ ----:ггг ЗГГ gifc ¦ (8-94 )
dV V dl' J 2 dx1 dV dV d№ \dl' J dX
Таким образом, уравнение (8.94) для геодезических справедливо лишь для некоторого класса специальных параметров, связанных друг с другом линейными преобразованиями.
Для пространственноподобных геодезических, когда постоянная в (8.94) положительна, всегда можно соответствующим выбором параметра сделать ее равной единице. Это соответствует выбору в качестве параметра длины дуги геодезической.
197
Мировая линия материальной частицы всегда времениподобна, т. е. вдоль этой кривой ds-< 0. Поэтому лишь времен и подобные геодезические в 4-пространстве могут описывать движение частицы. Когда постоянная в правой части (8.94) отрицательна, всегда можно выбрать параметр X так, чтобы эта постоянная равнялась — с2. Это соответствует выбору в качестве параметра X собственного времени т частицы, которое можно определять с помощью движущихся вместе с частицей стандартных часов. В этом случае (8.94) и (8.95) имеют вг-'д
d ( dxk \_____________ I dghi dxk dx1
----- Hik —-----------------------------------
dx \ dx I 2 дх1 dx d т
dx1 dx1'
8ih~dV~x
,2
(8.96)
Эти уравнения определяют]мировые линии свободно падающих частиц в устранимом гравитационном поле системы Xі, так как, используя эти уравнения в системе координат (Xі), с которой мы начали данное рассмотрение, получаем частные релятивистские уравнения (8.92), поскольку в этих координатах метрический тензор постоянен и равен i]^.
Для времени подобных геодезических вместо вариационного принципа
(8.93) можно использовать другой:
^2
dx‘ dxk\ I/2 А
- Sik~ ~) аХ = 0, (8.97)
dX dK
т. е. тот, который применялся в §]8.5. Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид
d I' dxk / dx1 dx”1 \- 1/21 __
dX (Sik dX [~glrn dX ~dX J J
If dxm dr" \-1/2 dghi dxk dx1 № n0l
Iir ~dT TT- (8'98)
Когда X равен одному из частных параметров, для которого справедливы
(8.94) и (8.95), уравнения (8.98) и (8.94) эквивалентны. Однако уравнения
(8.98) справедливы при любом выборе параметра. Это следует также из того, что подынтегральное выражение в (8.97) — однородная функция первой степени от с!х‘/сГ/,, поэтому интеграл
