Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы система отсчетг, описываемая формулами (8.42), могла быть реализована физически, допустимые пространственно-временные преобразования должны удовлетворять условию (8.49) или с учетом (8.47) условию
Представим себе, что в каждой точке системы отсчета мы поместим часы, показывающие время t = XiIc. Тогда мы должны потребовать, чтобы введенное таким способом определение времени давало разумное причинное описание физических явлений.
Следовательно, сигнал, испущенный из точки (х^) в момент времени і, должен достичь точки Xu + dxV в момент времени t + dt с положительным dt. Поскольку скорость сигнала относительно / не более с, линейный элемент ds2, = dXv- dX11 — c2dT~ для двух соседних точек на мировой линии сигнала
ds2 = gik dx1 dxk\
(8.46)
(8.47)
v»/c--=UX^dXi = A1HAt. Если эта скорость меньше с, то
(8.48)
V2Ici = Vv-VV-Ic2<С 1, или Ai Ai—А\ АІ<іО.
(8.49)
gu <С 0.
(8.50)
!90
должен быть меньше или равен нулю. Это значит, что в системе координат Xі ds2 = gikdx‘dxk 0.
Другими словами, любые два события, одновременные в системе (х1), т. е. события, для которых dxt = 0, нельзя связать световым сигналом, так что в этом случае мы должны иметь gihdxidxk > 0, или, поскольку dx% — 0,
g^dxvdx'X), (8.51)
т. е. квадратическая форма guv Ax^dxv — положительно определенная. Необходимым и достаточным условием для этого является положительность миноров матрицы коэффициентов ^v- Поэтому допустимые преобразования (8.42) должны быть такими, чтобы компоненты соответствующего метрического тензора gih удовлетворяли условиям:
§\l §12 §13
§'11 §22 §1 3
§3 1 §32 §33
где [ahv могут принимать^юбые значения из совокупности 1, 2, 3. (В нет суммирования по (.і.)
Из (8.52) следует, что определитель
§ЦЦ
>0;
§т
> 0; ёа < 0,
(8.52)
g = lgi
ik I
§п
ёи
§31
Sn
§12
§42
§13 §2 3 §33 §43
§14
§24
§ЗІ
§44
<0.
(8.53)
Вводя с помощью преобразований
х'1 =Xfi(Xk);
dx'' — ак dx* = (дх'1 /дхк) dxk dx1 — ai dx’k — (OxiIdxfk) dx,k новую систему координат по аналогии с (8.45), (8.45'), имеем
I I Ct
aI Vk=CtlCLk = Ok-
(8.54)
(8.55)
Интервал ds в новых'переменных снова будет однородной квадратической формой:
ds2 = gih dx‘ dxk = g'ik dx'1 dx,!t>
(8.56)
где
gik = §ki = gim a{ ak (8.57)
— новые функции от координат Xі. Соотношения, обратные (8.57), следующие
gih = ёш V11 а?, (8.58)
что легко проверяется подстановкой (8.57) в (8.58) с использованием (8.55).
Преобразования (8.54) должны быть такими, чтобы новые функции gik удов-
летворяли условиям (8.52). В общем случае система отсчета R', определяемая системой координат (Xі), отлична от системы отсчета R, определяемой координатами (х1), но если преобразования (8.54) имеют вид
,'V-
¦x'fl(xv); Xr4 = Xli(Xi) = I(Xi),
(8.59)
где пространственные координаты X fi являются функциями лишь от пространственных координат Xv, то системы отсчета R’ и R совпадают, так как в этом случае мы просто вводим другой метод упорядочивания точек в системе jR вмес-
19 *
ie с произвольным непрерывным изменением скорости хода координатных часов. В то время как любая система S координат (Xі) соответствует одной и только одной системе отсчета R в физическом пространстве, в данной системе отсчета всегда можно ввести бесконечное количество пространственно-временных координатных систем S, связанных между собой преобразованиями типа (8.59). Очевидно, что в случае специальных преобразований (8.59) соответствующие коэффициенты <х\ и OL1k удовлетворяют условиям:
аї = аї = 0. (8.59')
Вообще гравитационные поля в различных системах координат будут разные, но по физическим причинам во всех системах координат, связанных преобразованиями (8.59), гравитационные поля удобно считать одинаковыми, поскольку все такие координатные системы соответствуют одной системе отсчета. Однако в различных системах отсчета гравитационные поля уже не будут одинаковыми. Исключение составляют инерциальные системы отсчета, в которых отсутствуют гравитационные поля.
§ 8.8. Пространственные измерения и измерения времени в произвольной системе отсчета.
Экспериментальное определение коэффициентов gik
Рассмотрим произвольную систему отсчета R, соответствующую некоторой системе координат (х‘), и в ней две точки А и В с пространственными координатами (*>*•) и (л'^1 + dx») соответственно. Пространственное расстояние do между точками А и В в момент времени t = XiZC можно измерить стандартной измерительной линейкой, покоящейся относительно А. В пределе, при очень малом dx^ точка В практически также будет покоиться относительно измерительной линейки. Чтобы do Еыразить через gih, введем инерциальную систему /°, относительно которой в момент времени t точка А (а приблизительно и точка В) покоится. Если Xі — псевдодекартовы пространственно-
временные координаты в /°, то преобразования от /° к R определяются
формулами (8.42) — (8.48). Ho поскольку I0 — система покоя для точки А в рассматриваемый момент времени, из (8.48) имеем
