Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
t = Т. (8.10)
В принципе, допустимо использование координатных часов с произвольной скоростью хода, лишь бы временная переменная г, определяемая такими часами, обеспечивала разумное описание хронологической последовательности физических событий. Таким образом, в ускоренных системах отсчета пространственные и временная координаты не имеют прямого физического смысла; они просто описывают некоторое произвольнее, но однозначное чередование физических событий.
§ 8.4. Неевклидова геометрия. Метрический тензор
Пространственная геометрия на вращающемся диске, как мы видели, является неевклидовой. И хотя все геометрические построения в трехмерном физическом пространстве полностью согласуются с теоремами евклидовой геометрии, представление о неевклидовой геометрии в двух измерениях не является чем-то новым для нас, так как мы встречаемся с примерами таких геометрий на любой кривой поверхности. (Хорошо известен пример сферической геометрии на поверхности сферы.) В качестве введения к изучению неевклидовых геометрий в n-мерном пространстве рассмотрим геометрию произвольной двухмерной поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство. Если х, у, z — декартовы координаты в этом пространстве, то двухмерная поверхность определяется параметрическими уравнениями
x = F(x1,x2)-, у = G (х1, X2), Z = H(X1yX2)t (8.11)
где F, G, H — заданные функции от двух параметров .г1 її х2, определенных в некоторой области. Дифференцируя (8.11), получаем
dx = dF dx1jdx1 + dF dx2/dx2;
dy = OGdx1 Idx1^dGdxiIdx2-, (8.11')
dz = dH dx1 Idx1 + dH dx~ldx2.
181
Расстояние cls между двумя близкими точками поверхности, соответствующими значениям параметров (х\ х2) и (х1 + dx\ х2 -+- dx*), равно ds2 = = dx2 + dy- dzi, где dx, dy, dz определяются линейными относительно dx1 и dx2 выражениями (8.1 Г). Тогда для ds2 имеем следующую однородную квадратическую форму относительно dx1 и dx2:
ds1 = g'u (dxlf + §12 (dx1 dx4) 4- ga (dx2dx1) + g22 (dx2)2, (8.12)
fdF у . /OG \- , (dH \2 Sn~\dx1) IvOx1) ' V^1)
dF dF . dG dG , дН дН і /о
/dF \2 і fdG \г , і дН \
*« = Ы + Ы -la?)
2
Угол 0 между двумя линейными элементами 6s и As, соответствующими бесконечно малым приращениям (5x0 = (бх1, 6х2) и (AxO = (Ах1, Ax2) параметров X1 и X2, дается формулой
cos 0 = (8х Ax + 6г/ Аг/ + 6z Az)/8s As, (8.13)
где (6х, &у, 6 г) и (Ах, А у, А г) — бесконечно малые приращения х, у, г, полученные из (8.1 Г) заменой dx‘ = (dx1, dx2) на 6хг' и Axi соответственно. С уче-
том (8.1 Г) и (8.12) формула (8.13) принимает вид
сос Q _ <gn 5x1 Axl +gig Sx1 А*2 +gai S*2 Ax1+g2i Ьхг Ax'2) f8 14)
6s As '
Линейные элементы (6*0 и (AxO определяют также инфинитезимальный параллелограмм на поверхности с площадью
do = 6sAssin 0. (8.14')
Кривые на поверхности (8.11)
X1 — const (8.15 а)
или
X2 = const (8.15 б)
называются координатными линиями. Любая точка на поверхности является точкой пересечения двух координатных линий из семейств (8.15 а) и (8.15 б). Если линейные элементы (Sxi) и (AxO лежат в направлениях этих координатных линий, то (6x0 = (dx1, 0) и (Axi) = (0, dx2), и из (8.12) и (8.14) имеем Ss = (Sii)1/2 dx1:
As^=(g22)1'2 dx2; cosQ = g1J(gng22)1/2; sin 0 = (g/gu ^22)1'2, где
g=--glfgto — Slz
g 11 §12
: I gih I (8-16)
есть определитель матрицы коэффициентов gik.
Следовательно, для площади параллелограмма do из (8.14') получаем
do — Yg dx1 dx2. (8-17)
Если параметрическое представление поверхности (8.11) имеет то свойство, что любой совокупности значений параметров Xі — (х1, х2) соответствует одна и только одна точка поверхности, то Xі = (х1, х2) представляет собой систему общих криволинейных координат на двухмерной поверхности. Тогда все основные геометрические величины на данной поверхности можно выразить только через эти координаты, не пользуясь переменными трехмерного пространства, в которое вложена двухмерная поверхность. Если gik —
і 85
— Sih (xl) — заданные функции координат (х'), то лннейный элемент определяется формулой (8.12), т. е.
ds2 = gihdx! dxk. (8.18)
Здесь по повторяющимся индексам i, k производится суммирование от 1 до 2.
Угол б между линейными элементами (6*') и (Axi) определяется формулой
(8.14):
cos 0 g;h Ьх1 AxkI YUik ^xk Sik ^xk , (8.19)
а площадь параллелограмма, определяемая двумя линейными элементами
в направлениях координатных линий, вычисляется по формуле (8.17). Вели-
чины gik являются компонентами так называемого метрического тензора, который определяет геометрию на поверхности, в общем случае неевклидову.
§ 8.5. Геодезические линии
Прямые линии, определяемые в евклидовой геометрии как линии наименьшей длины между двумя точками, в более общем случае заменяются геодезическими линиями, которые подобным же образом можно определить из вариационного принципа.
Рассмотрим произвольную кривую, соединяющую две точки P1 и P2 двухмерной поверхности. В параметрическом представлении этой кривой координаты Xі = (х1, х1) можно считать некоторыми функциями от произвольного параметра X в интервале X1 < X < X2, т. е.
