Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
u* = S In, (7.89)
Тогда мы должны потребовать, чтобы и* в случае световой волны при преобра-
зованиях Лоренца трансформировалась как скорость частицы. Это значит, что величина (6.15) должна быть 4-вектором. Как показано в § 6.1, это возможно только тогда, когда тензор энергии удовлетворяет условию (6.119). Покажем теперь, что этому условию удовлетворяет тензор Минковского, HO не тензор Аб-рагама, т. е. в данном случае теория Минковского приводит к более удобному описанию явлений.
Как уже упоминалось в §6.1, достаточно доказать справедливость условия (6.19) лишь в одной инерциальной системе. Для этого выберем систему покоя преломляющей среды. Очевидно, можно ограничиться случаем плоской волны, так как в задачах, рассмотренных в гл. 1 и 2, радиусы кривизны волновых фронтов велики по сравнению с длинами волн (геометрическая оптика), поэтому в каждом месте искривленные волновые фронты можно аппроксимировать плоскими волнами.
В системе покоя наиболее общее решение уравнений поля в случае плоской волны с нормалью п к фронту волны при р = 0, / = 0 следующее:
E = f \t — (x.n)/w}e<>)/1/7+(х.п)/йу}е<2>//1Г; J H — g {t—(x»n)/a>} e<,)/V/H- +f \t — (x-n)/o>} t^/Yu. j
159
(см. приложение 3). Здесь e<L> и е<2> — два фиксированных единичных вектора, ортогональных друг другу и вектору п:
(е<1) • е<2>) = (е^ • п) = (е<2> • п) = 0; (е<*> х е<2>) = п, (7.91)
а / и ё — произвольные функции от аргумента t — (х-п)Iw, где
w = cjV e[i = cjn (7.92)
— фазовая скорость. Следовательно, из формул Минковского (7.68)—(7.72)
в системе покоя имеем
S = c(ExH) = (c/|/ejx) (f2 -f- g2) е, (7.93)
где
е = (е(1> х е<2>) = п, (7.94)
т. е. направление распространения энергии е совпадает с направлением волновой нормали п в этой системе. Кроме того,
^ = (1/2) (е?2 + ^H2) = f2 + g2, (7.95)
следовательно,
и* = Sfh = (с/VЩ)е = и* е = (cfn) е = w, (7.96)
т. е. в системе покоя скорость энергии равна фазовой скорости. Из (7.96) с по-
мощью (6.15) и (6.12) получим
U* = {celV Щ—1» ic У Ejx / Уе|і — 1); (7.97)
Si = (S, і ch) = (/2 + g2) {се/ /ф, і е} = (/2 + g2) Ufl Кф. (7.98)
Кроме того, из (7.69) найдем, что
Sftv= -Zliv = — SEllEv- \iHllHv + (eE2 + ix,H2)6llv/2 =
= (f2 + g2) (~ер ер-ер еР+б^) = (f2 + g2) ві1ех, (7.99)
так как с учетом (7.91) и (7.94) е(р ei/1)+ер ер+е^е^ = Sliv. Наконец,
(7.72) дает
Sji4 = icgn; gn = (etJ'/c)(ExH)li = (|/r8jx/c)(/2 + g2)eu. (7.100)
Тогда для величины
^ = Slll Uffc2 = (1 /с2) (Stiv t/* + IcfiTtl UX) (7.101)
с помощью (7.97), (7.99) и (7.100) получим
«и = — К/2 + g2)/c] V ец—1 eH- (7.102)
Таким образом, в соответствии с формулами (7.97)—(7.102) тензор Rik, опреде-
ленный в (6.19,), имеет следующие компоненты:
Rliv = Sviv +Ovl Uj = (/2 + g2) Ieli gv — (Vsix — 1/с) х
X CelI Є\І |- Bjx ¦ Ij =0;
Rlli = і Cgll +Cill Uti = і (f2 + g2) {Ksn—/sjx —1 х X VrSjx I Yни,— 1} Єц,= 0;
R4lt = (i/с) (S11 + Se U*e иЦс2) = 0.
(7.103)
Следовательно, условие (6.19) удовлетворяется, и скорость распространения энергии и* в любой системе координат S совпадает с групповой скоростью, определенной из принципа Гюйгенса (см. также [217]).
360
11 ели v' — скорость системы покоя S относительно системы Sr с той же самой ориентацией пространственных осей, то коэффициенты преобразования Eliv в (6.17') или (6.18) определяются формулой (4.129), где v = —v', т. е.
Эта формула в первом приближении совпадает, естественно, с формулой (2.55), если в последней положить v = —v', u = \с,У г и} е. Из (7.106) находим величину и*':
что совпадает с формулой Френеля (2.92). С другой стороны, если выбрать для тензора энергии выражение Абрагама, то формулы (7.90)—-(7.99) будут еще справедливы в системе покоя, но вместо (7.100) из (7.84) получим
gAbT = (1/с) (Е х Н) - S/c2 = (l/сКЇЙ (P + g2) е = g —(ец- I) S/с\ (7.108)
Таким образом, в этом случае вместо (7.101) имеем % — с(1—(і/с)(є,и—
—¦ 1)(5ц/с2) U4 и тензор Rih уже не равен нулю. Следовательно, U* — не 4-вектор, и и* не преобразуется как скорость частицы. Чтобы получить явное выражение для вектора и*', снова используем (7.104), (7.105) и (6.17'). Тогда
что соответствует коэффициенту увлечения, равному 2(1 — Iln2), где (1 -
— 1/я2) — коэффициент увлечения, найденный Френелем.
Из (7.109) видно, что направление потока энергии в данном случае отливается от направления групповой скорости, определяемой по принципу Гюйгенса. Это вызывает изменение в аберрационной формуле для среды с показателем преломления п > 1; соответствующее отклонение имеет величину первого порядка по Vt. К сожалению, в движущейся прозрачной среде очень трудно !3мерить аберрационные эффекты даже первого порядка.
Кроме того, из (7.109) видно, что скорость распространения энергии отлн-іается от фазовой скорости даже когда v' ;j е, в то время как групповая скорость в этом случае совпадает с фазовой скоростью. Этот странный результат вызван :ледующим обстоятельством.
У Минковского в рассматриваемом случае плотность 4-силы /* = Д- = 0. Зднако теория Абрагама приводит к появлению ненулевой плотности силы. В системе покоя в соответствии с (7.86) имеем
