Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Atf0 = АЛ0 + AQ0, (7.162)
где АЛ0 — механическая работа, произведенная при этом внешней средой над системой, a AQ0 — количество тепловой энергии, полученной телом во время іроцесса. Такое разделение Atf0 в (7.162) на две части является однозначным, :сли мы условимся, в соответствии с духом классической термодинамики, что 1Л° включает в себя лишь работу истинных механических сил. Тогда AQ0 шределится как та часть Atf0, которая не обусловлена действием этих сил. Этой ’очки зрения мы будем придерживаться в любой системе отсчета, в отличие от :тарой формулировки, когда в АЛ включалась работа некоторых обобщенных :ил.
Мы уже упоминали, что вследствие теоремы Эйнштейна о наличии инерции ; всех видов энергии, релятивистское обобщение первого закона должно вклю-іать аналогичное разделение изменения импульса на две части, обусловленных действием механических сил н подводом тепла соответственно. Следовательно, і произвольной системе 5 первый закон термодинамики можно записать в виде
AGi = AZi-I-AQi, і=1, 2, 3, 4. (7Л63)
Здесь изменение 4-импульса
AGi = (AG, і AHIc) (7.164)
і 4-импульс внешних механических сил
AIi = (Al, і А А/с). (7Л65)
167
Iul+avl
Его пространственная часть Al есть импульс, т. е. интеграл по времени от результирующей внешней силы, а АЛ — полная работа этой силы во время процесса.
Наконец, 4-нмпульс подведенного тепла
AQ1 = (АР, і AQlc). (7.166)
Ни AGi, ни AIi не являются, вообще говоря, 4-векторами, но, как мы увидим, 4-импульс AQ; подведенного во время процесса тепла, соединяющего два термодинамических равновесных состояния, всегда является 4-вектором.
В начальном и конечном состояниях равновесия скорость материи и везде одинакова в теле, и поток тепла отсутствует. Однако во время процесса значение и зависит от пространственных и временной координат, и существует тепловой поток, зависящий от свойств тела и типа рассматриваемого процесса. В случае, когда внешние силы являются поверхностными силами, действующими на поверхность тела, скорость изменения 4-импульса определяется уравнением (7.146), где / (Z)— замкнутая поверхность, целиком лежащая внутри изменяющегося объема тела. Это уравнение можно записать и в форме (7.155). В более общем случае, когда внешние силы могут быть и объемными, описываемыми плотностью 4-силы fh типа (4.128), (4.220), вместо (7.145) имеем
STiJdxh= U (7.167)
В этом случае в правую часть (7.155) следует добавить интеграл f f-,dV. Полное
V
изменение 4-импульса получается интегрированием этого нового уравнения по временному интервалу Zi <С Z < Z2, включающему отрезок времени, в течение которого происходит рассматриваемый процесс. При этом получается уравнение в форме первого закона (7.163), в котором
I
Пространс-.5і P и с. 15.
Ali = AIvi^Afi',
A/J =^dt $ ftdV= $ fi dQ/с-,
І 2
<1 V (О dt..„
AIsi = —\dt\ dV =
I І dx^
Іь
I MyLdQfC',
(іі») dx^i
dl'= — \ ^dQfc.
4 s', dxk
(7.168)
(7.169)
(7.170)
(7.171)
?2(12)
Здесь Q(12) — часть мировой трубки системы, заключенной между двумя гиперповерхностями S1 и 2 2, соответствующими Z = Z1, Z = Z2 (рис. 16), a dQ определяется из (4.124). Кроме того, мы использовали формулы (6.92) и (7.130):
Iii = Sii = 0. (7.172)
До и после процесса область 4-пространства, содержащая материю, имеет форму цилиндрических трубок, оси которых параллельны постоянным 4-скоростям Ui и Ui jT ^Ui материи в начальном и конечном состояниях соответственно. Поскольку эти состояния равновесные, безразлично, где выбирать такие Z1
168
и t2, для которых S1 и S2 не пересекают область Qfrrp), где происходит процесс. Внутри ?2(пр) 4-скорость, конечно, не будет постоянной.
С помощью теоремы Гаусса (4.194) выражение (7.171) для можно преобразовать в интеграл по трехмерной поверхности 2 области й<12)
AQi = (Mc)IeSihCiXk = (IlC) Jj sih dZk. (7.173)
S 2(12)
Здесь
d2k = (l/i) &klmn Clxl 6хт Axn (7.174)
— 4-вектор, ортогональный инфинитезимальным векторам dx{, Sxm, Axn, которые находятся внутри 2 и выбраны так, чтобы d2fe был направлен внутрь области Й(12>. Гиперповерхность 2 состоит из двух концевых поверхностей
I1, S2 и «кожуха» 2(15) трубы й<12). На S1 и S2 ^Sг имеет форму (4.195). Поэтому с учетом (7.172) вклад в (7.173) от S1 и S2 равен нулю. Следовательно, в (7.173) поверхность 2 можно заменить «кожухом» S(l2), что и сделано в последнем выражении для правой части этого уравнения.
«Кожух» образован мировыми линиями точек поверхности / тела, откуда следует, что в каждой точке (Xi) на 2(12) 4-вектор <42k ортогонален 4-скорости Ui (х) в этой точке, поэтому во всех точках 2(12)
UhdZh = Q\ d^ = -UlLdZiLlUi. (7.175)
Из (7.172), (7.129), и (7.175) получим
sUi siii = —HiiUtxIU4) dS^ — H IbdHk. (7.176)
Это, очевидно, 4-вектор. Интеграл (7.173) является суммой таких 4-векторов, но этого еще недостаточно для того, чтобы AQi был 4-вектором, так как область интегрирования 2(12> зависит от системы S, в которой производится интегрирование. Однако, если начальное и конечное состояния являются термодинамически равновесными, как это мы предположили, подынтегральное выражение в (7.173) равно нулю везде вне «кожуха» 2(пр) области Й(ПР). Тогда
