Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(7.36)
где V — скорость S' относительно 5.
Если определить тензоры Fik, Hik, Ji так, чтобы величины Е, D, Н, В, J1 р совпали с макроскопическими электромагнитными переменными E0, D0, H0,
B0, J0, р° в системе покоя S0 материи, то электродинамические уравнения в лю-
бой системе координат должны принять вид
OFikIdxl + OFhlIdxi + OFliIdxk = 0; (7.37а)
OHikIdxk = Ji. (7.376)
В системе покоя S0 уравнения (7.37) совпадают с уравнениями Максвелла (7.31), и, поскольку это тензорные уравнения, они должны выполняться в любой инерциальной системе. Согласно (4.190) уравнение (7.37а) можно записать также в форме
dFfkldxk = 0, (7.37а')
где Ffk — псевдотензор, дуальный тензору Fik.
Подставляя формулы (7.33), (7.34), (7.35) в (7.37), получаем в любой системе координат
rot E+ (1/с) OBIdt = O; div B = O; (7.38а)
rotH — (Ifc) BDfdt = Jfc; div D = р. (7.386)
Величины Vj = (J/c> ip) можно интерпретировать как плотность тока и плотность заряда в системе S, так как в соответствии CJ7.376) имеем уравнение неразрывности
dJi!dxi = d2 HikIdXidXk = O. (7.39)
Если среда’непроводящая, т, е. J0 = 0 в системе покоя S, то из уравнений (7.36) ^получим
P = P0ZK1-u2Zc2; J — P0 U/Vl— U2Ic2 = PU, (7.40)
151
где u — скорость материи относительно S. Следовательно,
бе --= p5V - pn б V0 = 6е°,
(7.41)
т. е. заряд инфинитезимальной частицы среды с объемом 61/ = бV0 /Г -UVci
инвариантен, a J — чисто конвективный ток.
Однако в общем случае Se = р61/ — не инвариант. Если в системе S0 присутствует ток проводимости J0, то из (7.36) получим
Даже если в системе покоя S0 плотность заряда равна нулю, то в системе S плотность заряда равна рс, которая отлична от нуля, когда J0 Ф 0. Эта кон-дуктивная плотность заряда дает существенную добавку к полному конвективному току ри.
В системе 5 ток проводимости С определяется из выражения
Поверхностный элемент df, движущийся вместе с материей, описывается
3-вектором df — ndf, где п — нормаль к элементу. Тогда заряд, проходящий через df в направлении п за единицу времени в 5, равен Cdi.
Разделение тока J в (7.43) на ток проводимости С и конвективный ток рине является релятивистски инвариантной операцией. Мы получим ковариантное разделение, если образуем величину
Следовательно, s есть сумма тока проводимости С и конвективного тока реи, соответствующего кондуктивному заряду рс. Далее, поскольку
В то время как Ji имеет непосредственный физический смысл, полевые переменные E1 D, Н, В, входящие в уравнения (7.37), не имеют простого физического смысла, в отличие от переменных E01 D0, H0, B0 в системе покоя, которые можно найти из простых макроскопических экспериментов. До сих пор они определялись только формулами преобразований, посредством которых они могли быть выражены через полевые переменные в системе покоя 5°.
Теперь рассмотрим 4-вектор
P = PVVl- U21C2+Po,
(7.42)
где
pc = (uJ°)/c3(l—«s/c2)1/2.
Следовательно,
be = рбі/ = р° W0 + рс 6V = 8е° + рс 61/ ф 6е°.
J = pu+ C=C +рс и +р° MjiV I — UzIc2.
(7.43)
Ji — s? + P aU і/с, где Ui — 4-скорость материи. Из (7.42)—(7.44) видно, что
Sj — (s/c, S4); I
S = C+рсu; S4 = Ipc. I
(7.44)
(7.45)
J1 Ui = J0iU0i=IcJl=-Cp*,
(7.46)
из (7.44) и (7.45) получаем
SiUi= 0; S4= і (s-u)/с2;
Pc = (s-u)/c2 = Cu/(c2—W2).
(7.47)
(7.48)
Следовательно, компоненты Fi в системе S0 имеют вид
F0i -(E0, 0), (7.49)
т.е. Fi есть 4-сила, действующая на единичный заряд, покоящийся относительно среды и помещенный в продольный разрез в материи. Если положить
E = E + (1/с) (u х В), (7.50)
то (7.48) примет вид
Zrt = !—-1Е1Ц)/С- ¦]. (7.51)
I "|/l — UiIc3 Yl—Ii1Ici J
Сравнение с (4.54) показывает, что E — сила, действующая на пробное тело и измеряемая наблюдателем в S.
Аналогично 4-вектор
и 1 и jj ______\ 0-{-(1/с)(цхН) і (D • u)/c ] ( D і (D • и) I с
Лі----HikUk-\- ...----------------- , .- - .. і _ —— _ __ _ ¦; - —
с { } I -UiIc1 V 1 — UiIci J І У1—и2/с2 У \ — и*/с*
(7.52)
с компонентами К° = (D01 0) в системе покоя есть 4-сила, действующая на единичный заряд, покоящийся относительно среды и помещенный в поперечный разрез в материи.
Следовательно, вектор
D = D+(1/с) (U-H) (7.53)
также имеет простой физический смысл. Он представляет собой силу, действующую на пробное тело с точки зрения наблюдателя в S.
Кроме того, если Ffk и Н% — псевдотензоры, дуальные тензорам Fih
и Hik I см. (4.111), (4.112)1, то мы можем образовать два псевдовектора
к = (Л\га,^, = (в-<"хЕ)/с. Jtg.-JQg-U
''' IvrI-UVc5 Yt-u'/c’-1
= (-=1=. -lZ5-uvcI: (7.54)
[ Vl-UiIe1 j/l — U2Ic1 j
X*. = f—] Htk Uk = j-H~(-u>(P)/?, . L(1L-Jj)/?..
с > 1/1-«2/с2 Vl-U1Ici
- й , (7.55)
/1— U2Ie2 Vl-U1Ic1 J
Здесь F* и К*, как это сразу видно при рассмотрении компонент этих псевдовекторов в системе покоя, суть 4-силы, действующие на единичный магнитный по-
люс, помещаемый в покоящиеся относительно среды поперечный и продольный разрезы соответственно.