Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
-(1/2) (dFH/dxk + OFhiIOxl) Hlk = -d(Fn Hhl)/dxk + (1/4) d (Flk Hlk)/Sxi +
+ (:I / 4) (Hlh dFlkI dxt — Flh OHlkIdxi).
Следовательно,
Fil J1 = (1/4) (Fkl OHklIdxi-HhlQFklIdxi) = -OSikIOxh, (7.67)
где
Sift = Fil Hhl-(1/4) (Flm Hlm) 6(fc. (7.68)
Из (7.33) и (7.34) для компонент этого тензора имеем
Sjtv- •—(7.69)
где тензор
І (tv — E д Dv + Hfl Bv — (1/2) (ED -j- HB)
155
в системе покоя материальной средьЛсовпадает с максвелловским тензором на* пряжений.
Кроме того,
(S41, S431 SJ = (Hc)S, (7.70)
где S — с (Е х Н) — вектор Пойнтинга, а
S44=- h; й = (ED + HB)/2. (7.71)
В системе покоя ShA совпадают с обычными выражениями для электромаг-
нитных потока энергии и плотности энергии в стационарной среде.
И, наконец,
(S14, S24, S34) = і eg, (7.72)
где g = (D х В)/с.
Из уравнения (7.67) следует, что величину
Fu Ji + {Fm dHы!дхг — Hhl SFhlIdxi)/4
можно считать плотностью 4-силы /* и что тензор Sik, определяемый формулой
(7.68), представляет собой электромагнитный тензор энергии. Это означает, что в каждой системе координат величины S, h и g должны интерпретироваться как электромагнитные поток энергии, плотность энергии и плотность импульса соответственно.
Приведенные выше выражения для S, h и g были выведены Минковским [160, 161]; при е = [л = 1 они сводятся к соответствующим выражениям электронной теории.
Легко видеть, что в частном случае однородной и изотропной среды второй член в (7.67) равен нулю. В самом деле, в системе покоя этот член с учетом (7.32) приводится к виду
(1 /4) (Fll SHtlIdxf - Hll dFtJdxf) = (1/2)(В° дНVdxf - E0 OVPfdxi -
— H0 dW/dxf + D0 SE Vdx0i) = — (1/2) (| H012 d^/dxf + J E012 дь/dxf).
Следовательно, если е и (х — постоянные, то этот член в системе S0 равен нулю. Ho вектор, компоненты которого равны нулю в одной системе координат, будет равен нулю в любой другой системе. Следовательно, в соответствии с (7.33) и (7.35), внутри однородной изотропной среды сила
tf = FikJk = (\\ /2) = {pE + (l/c)(J.B), (i/с)(EJ)}. (7.73)
С помощью (7.43) и (7.50) эту формулу можно представить в виде
f* = p{E + (l/c)(uxB)} + (1/с)(СхВ) = рЕ~+(1/с)(СхВ); j ^774
f; = (i/c)E(pu + C) = (i/c)(f*u + E.C). J
В системе покоя S0 выражение для совпадает с формулой Джоуля для тепловой энергии ф°, производимой в единице объема среды за единицу времени. Фактически в S0 сила
/40 = (Uc) (E0C0) = (i/с) (E0 J0) = (і/с) ф°. (7.75)
Кроме этого немеханического действия электромагнитное поле приводит также к возникновению механической силы, которая в системе S0 соответствует силе Лоренца:
f*0 = р0 E0 -J- (1./с) (J0XB0). (7.76)
Таким образом, даже если в S0 поле и стационарно, для того чтобы материя покоилась в S0, необходима внешняя механическая сила. Плотность этой силы в системе S0
В произвольной инерциальной системе S две величины f*-u и ф* — ЕС в (7.74) ранее интерпретировались как механическая мощность и выделяемая теплота. Однако необходимо заметить, что лоренцева сила f* в (7.74) не имеет характера истинной механической силы, так как 4-вектор f* не ортогонален Ui. Действительно, из (7.73), (7.47), (7.35) и (7.51) имеем
Ui ft = Ui Fik Jk = -с (Fk Jk) = -E (J-puVO-jrVc2)1'2 (7-78) или в соответствии с (4.228) и законом Джоуля
-Uift = ЕС/(I — U2Ic2Y/2 = E0 С = ф®. (7.79)
Как уже говорилось в конце § 4.18, в общем случае невозможно обобщенную силу I* однозначно разложить на механическую fi и немеханическую Яг части. Однако, когда в системе покоя немеханический импульс равен нулю, что обычно предполагается для джоулева тепла, такое разложение однозначно, и мы имеем уравнения [(а), стр. 106], т. е.
ft=fi+Ui ІІ Vkfc2 = ft-(Fk Jk) UiIc; n; = (.Fft /ft) Uifc = V0Uifci.
Подставляя выражение (7.58) для Fik в (7.73) и используя (7.46), получаем следующее выражение для лоренцевой 4-силы:
= Fih^k~ (Fh Ik) UiIс+ P0 Fі+Hklm Jk FfUmfic' (б)
Следовательно, механическая 4-сила равна
fi = P0 Fi + ZiklmJtiiF* umfic = {i, (і/c) (fu)} (В)
и удовлетворяет, очевидно, характеристическому уравнению Uifi = 0. Подставляя выражения (7.35), (7.43), (7.54) и (4.39) для Jit Ft и Ui в (в), после некоторых выкладок най-
дем механическую 3-силу, с которой поле действует на материю:
f = p«E/(l-uVc2)I/2+(l/c)(CxB), (г)
где
1 = {В —u(Bu)/c2}/(l —а2/с2). (а)
Именно эту силу, а не лорснцеву силу f* нужно уравновешивать внешней силой їВнеш* чтобы материя в случае стационарного поля находилась в покое, т. е.
^внеш=—f* (е)
В системе покой S0 сила f° (7.76) равна f *° и условие равновесия (е) совпадает с (7.77). Поскольку fEHeiii трансформируется как f, т. е. как истинная механическая сила, то условие равновесия (е) справедливо для любой системы отсчета, ио в общем случае ївнеш уже ие будет совпадать с —І*.
Для величины иемехаиической энергии поля, в соответствии с (4.221), (а) и (7.79),
имеем
ц>= — іся4 = ЕС/(1 — и2/с2) = Е«С°/(1— «2/с2)1/2 = Ф°/(1 — к2/с2)1/2« (ж)
В системе S эту формулу можно интерпретировать как выражение для джоулева тепла, выделяемого в единичном объеме среды в единицу времени. Ранее эта величина определялась формулой