Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
B = B- (ихЕ)/с (7.56)
и
H = H- (uxD)/c (7.57)
— силы, действующие на этот единичный магнитный полюс, измеренные в системе S.
Таким образом, векторы Е, D, Н, В (или 4-векторы Fu Kil Ffl К*), в принципе, можно найти непосредственно из физических измерений, выполненных
153
наблюдателем в 5. С помощью (7.50), (7.53), (7.56) и (7.57) можно также выразить тензоры Fik и Hik через величины Fu Ki, F*, Kf:
Fifc = (I/с) (i/| Ffc-UkFt) + (l/ic) BihlmFi Um, I (758
Hik == (He) (Ui Kk-Uh Ki) + (1/ic) EiklmKl Um, J
где &ihim — символ Леви-Чивита, определенный в § 4.11. Легко видеть, что формулы (7.58) справедливы и для системы покоя S0, а поскольку левые и правые части в (7.58) преобразуются как тензоры, то эти формулы действительны и в общем случае.
Учитывая, что вектор и — постоянный, имеем
rot(uxB) = —(ugrad) В-f udivB= —(ugrad) В;
rot (u X D) = — (ti grad) D + u div D= — (u grad) D + pu.
Поэтому уравнения поля (7.38) можно записать также в виде
rot E + (1/с) dh/dt = 0; rot H—(1/с) dD/dt = Cfc\ (7.59)
div B = O; div D = р, (7.60)
где
dEjdt = dB/dt + (u grad) В; dDfdt = ODf Ot + (u grad) D
— субстанциональные производные по времени от В и D, а С —ток проводимости, определяемый формулой (7.43).
До сих пор мы рассматривали только одну материальную среду, движущуюся с постоянной скоростью и. Ho поскольку уравнения поля линейны, поля аддитивны, и, следовательно, уравнения (7.37) должны выполняться также в случае нескольких тел, разделенных вакуумом, движущихся равномерно
с различными скоростями. Однако уравнения (7.37) дают хорошую аппрокси-
мацию для системы движущихся тел только до тех пор, пока ускорения этих тел, обусловленные электромагнитными силами, достаточно малы.
§ 7.6. Материальные соотношения в четырехмерной формулировке.
Граничные условия
Из первых двух уравнений системы (7.32) следует, что силы, действующие на единичное пробное тело, помещенное в продольный и поперечный разрезы, пропорциональны. Коэффициенты пропорциональности в зависимости от того, является ли пробное тело электрическим зарядом или магнитным полюсом, равны е или |х соответственно. Поэтому
Ъ = еЁ; B = ^H (7.61)
или
/Cj = EFi; Ft = \iKf. (7.62)
Эти уравнения можно также записать в виде
HikUh = EF ikUk,
FfkUh-^HiliUh.
Последнее уравнение совпадает с тензорным уравнением
P ih V г + FhlUij^FnUh - ц, (HihUijT HhlUi + HliUh). (7.63в)
В системе покоя уравнения (7.61)—(7.63) сводятся к первым двум уравнениям системы (7.32). Последнее уравнение этой системы, выражающее закон Ома, можно представить в форме
Si = OFiIc, (7.64)
(7.63а)
(7.636)
154
что следует из выражений (7.45) и (7.49), если векторное уравнение (7.64) записать в системе покоя. Поскольку SiUi = FlUi = 0, лишь первые три урав* нения в (7.65) независимы, т. е. (7.64) эквивалентно
s=(oE/c)/Y\ — и2/ с2. (7.65)
В соответствии с (7.46) и (7.47) закон Ома можно также представить в виде Ji + Ut (Jk U k)[c* = (Olf)Fik Uh. (7.66)
Уравнения поля (7.37) вместе с материальными соотношениями (7.63) и (7.66) позволяют определить поле, когда известно распределение заряда и тока. На границе между материальной средой и вакуумом тангенциальные компоненты E и H должны быть непрерывными. Это можно показать, если проинтегрировать уравнения (7.59) по инфинитезимальной поверхности, ограниченной малым прямоугольником, две противоположные стороны которого лежат непосредственно внутри и снаружи границы среды. При этом предполагается, что скорость и, входящая в выражение для E и Н, равна также скорости материи вне границы. Кроме того, интегрируя (7.60) по малому цилиндру, основания которого находятся непосредственно внутри и снаружи границы, получаем, что нормальная компонента В должна быть непрерывна на границе, а скачок ADn нормальной составляющей вектора D равен поверхностной плотности заряда на границе.
§ 7.7. Электромагнитный тензор энергии и плотность 4-силы
В гл. 5 было установлено, что в электронной теории
f і Fih Sh,
где fi — плотность 4-силы, a Si — плотность тока. Это выражение следует непосредственно из условия, того, что по самому определению напряженности электрического поля плотность силы в системе пЪкоя заряда равна р°Е°. В материальной среде с отличными от единицы е и ц не так просто найти однозначное выражение для плотности силы, действующей на материю. Во-первых, в системе покоя среды существует, в общем случае, ток проводимости; и даже в случае изолятора совсем не очевидно, что плотность силы в системе покоя равна р°Е°, так как напряженность электрического поля определяется как сила, действующая на единичный заряд, помещенный в разрез в среде. Эта неопределенность в определении понятия плотности силы приводит к соответствующей неопределенности в определении понятия электромагнитного тензора энергии.
Однако если рассмотреть 4-вектор FnJu являющийся аналогом плотности 4-снлы в электронной теории, то из уравнений поля (7.37) получим
FiiJi = Fn дН 1к/дхк = О (Fil Hlh)/dxh -Hlh BFilIdxh = —д (Fil Hhl)ldxh—