Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7.2. Статические незамкнутые системы
Пусть снова Ttk — тензор энергии рассматриваемой системы, но /г теперь— плотность 4-силы, обусловленной самой системой; тогда в соответствии с (7.2') в каждой инерциальной системе имеем
U=-BTihIdxh. (7.16)
Физическая система называется статической, если существует система координат S0, в которой все физические переменные не зависят от времени, и если
G0=Jg0 dV0 =
Статическая система как целое покоится в S0, и поскольку все физические переменные не зависят от времени в S0, то центр масс в этой инерциальной системе, определенный формулой (7.11), также покоится в S0. Следовательно, в этом случае для незамкнутой системы возможно однозначное обобщение ньютоновского центра тяжести.
В качестве примера можно рассмотреть электромагнитное поле заряженной материи, покоящейся в некоторой системе S0. Тогда тензором Tih является тензор электромагнитного поля Siht который при є = р. — 1 определяется формулой (5.106) , a fi — плотность электромагнитной 4-силы, действующей на заряженную материю.
Другим простым примером статической незамкнутой системы является жидкость, находящаяся в термодинамическом равновесии и помещенная в со-
S0dV° = O.
(7.17)
147
суд, на которую действует внешнее давление со стороны стенок сосуда. Чтобы найти полную энергию и импульс статической системы в инерциальной системе S, относительно которой S0 движется с постоянной скоростью и, нужно использовать формулу преобразования для тензора и выражение (4.128) для коэффициентов преобразования aik. Интегрируя формулу
Tik = TUauamh (7.18)
по всему пространству и используя формулу Лоренца
dV = ClV0V I -U2Ic2
и (7.17) , получаем
, U [яв+(1/«9) (nfT»dV»n){i-yT=5v^>l „ ч
G = JgdV= ‘ +I'JU (7.19)
?!±?мМ1^!1,
J Vl- ич-/с*
где T0 — пространственный тензор с компонентами T?v- Хотя G и Я не зависят от времени, они не преобразуются как компоненты 4-вектора. Это может служить доказательством незамкнутое™ рассматриваемой системы. Для упругой среды, предполагая, что ее скорость везде постоянна и равна и, формулы
(7.19) получаем при интегрировании (6.119) и (6.121). Очевидно, что такая система не замкнута, пока во всех точках среды не выполняется условие t0=
= T0 = 0.
Если T0 имеет вид
Tpv = p&ixvt (7.20)
(7.19) совпадает с соответствующим выражением для идеальной жидкости, т. е, с (6.149).
§ 7.3. Электростатические системы.
Классические модели электрона
Рассмотрим более подробно случай заряженной' материи, покоящейся в системе координат S0. При є = ц = 1 тензор Sik определяется из (5.106)— (5.114). Поскольку поле в S0 электростатическое, H0 = 0, a E0 не зависит от времени, т. е.
A0 = |Е°|2/2; S0 = g0 = 0; SJv=-Е°?$ + |?0|*б^/2. (7.21)
Предположим, что распределение заряда сферически симметричное. В этом случае поле также является сферически симметричным, a E0 направлен вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр физической системы с точкой наблюдения. Тогда
j E0 EUV0 = JlE0IW0S,^; j S0ll V dV° = §\ E012 dV0 6„v/6 = J h° dV0 6^/3 = H0 6pv/3.
(7.22)
Используя (7.19) и (7.22), находим электромагнитные импульс и энергию сферически симметричного распределения заряда:
о„ = (4/3 н.
1 ЭЛ — ^
14-_LU2/C2
з
/ VI — U2Ici Н,
J0
1 эл*
(7.23)
148
Такая система представляет собой классическую модель электрона, так как фундаментальные уравнения лоренцевой электронной теории совпадают с уравнениями Максвелла для сред с е = jj, = 1. Лоренц выдвинул идею, что масса, энергия и импульс электрона должны быть чисто электромагнитного происхождения, но из (7.23) мы видим, что это невозможно [1], так как зависимость энергии от скорости отлична от релятивистской формулы (3.31) для энергии частицы. Поскольку величины {G3JI, (Vc)Hgn) не преобразуются как компоненты 4-вектора, мы имеем типичную незамкнутую систему. Чтобы получить непротиворечивое классическое описание электрона, нам следует предположить существование внутри электрона неэлектромагнитных импульса и энергии, по крайней мере до тех пор, пока считаем, что уравнения Максвелла выполняются во всем пространстве.
Теперь допустим, что заряд е равномерно распределен по поверхности упругой сферы радиусом а в системе покоя. Если п — единичный вектор в направлении радиуса-вектора, то соответствующее решение уравнений Максвелла имеет вид
Е° = (е/4я/-2)п при r>a; E0 = O при r<a; H0 = O,
где г — расстояние от центра сферы. Отсюда с учетом (7.21) получим
??2
(7.24)
CO -
O1J1V —¦
S2 I = S
ItlX UvjT- 2 , Орд?,
-г* 2 (4л)гг4
Ґ4л)2 г
г>а,
H0
* * ЭЛ
E01 dV0 =
(4 л)2
• 2л
г* dr гі
=--------= тэ0лс2.
8ла 0
(7.25)
Здесь заряд е измеряется в единицах Хевисайда, а т\л—электромагнитный вклад в массу покоя частицы.
В соответствии с (5.109) электростатическая сила, действующая на единицу поверхности сферы,
'5^,v fiv = е2 Яц/2 (4 л)2 а4
(7.26)
должна уравновешиваться упругой силой. Следовательно, тензор упругих напряжений внутри сферы должен иметь вид
