Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(5.4) выражает тот факт, что дивергенция S1 равна нулю [см. (4.181)]. Умножая на —1 инвариант
Si Si = s'i s', (5.6)
с помощью (5.3) получаем другой инвариант
P2 (1 — и2/с2) = р'2 (1 — и'2/с2) = р02, (5.7)
где р° — плотность заряда в системе покоя S0. Следовательно,
P = P0IVl-UiIci. (5.8)
С помощью (5.8) формулу (5.3) можно представить в форме
Si = P0UiIc, (5.9)
где Ui есть 4-скорость из (4.39). Выражение (5.9) аналогично выражению (4.213) для плотности 4-тока собственной массы.
Теперь рассмотрим заряд p6V элемента объема материальной среды. Если 6У° — соответствующий объем в системе покоя, то 6V = 6V0V71 — U2Ici, что вместе с (5.8) дает.
рб^ = р°б1/°, (5.10)
Следовательно, электрический заряд элемента объема материальной среды — инвариант. (То же самое справедливо и для полного заряда.) Эта важная теорема об инвариантности электрического заряда является, таким образом, следствием справедливости уравнения непрерывности во всех инерциальных системах. Это можно показать также с помощью следующего рассуждения. Пусть заряженная частица с зарядом е первоначально покоится в системе S. Под действием силы частица ускоряется, пока не достигнет той же скорости V, что и система Sr относительно S. Поскольку заряд частицы сохраняется во время ускорения, то частица пока имеет заряд е относительно S. С другой стороны, частица теперь имеет относительно Sr нулевую скорость, и поскольку она относительно Sr находится в том же положении, в каком находилась первоначально относительно S, то заряд е' частицы относительно S' должен равняться постоянному заряду е относительно S. Следовательно, в любое время е' = г, что соответствует (5.10).
109
§ 5.2. Ковариантность уравнений электродинамики при преобразованиях Лоренца. Тензор электромагнитного поля
В каждой инерциальной системе 5 определим величину Fih с помощью соотношений
Fik ~ Eflh (F^st F31, F12) — Н; (F41, FFJ3) = iE, (5.11)
т. е.
0 Hz —н
-Hz 0 Hx
Ну -Hx 0
ІЕХ і Ei я*
Тогда уравнения (5.1а) можно записать в виде
SFlJdxl + SFhlIdxi + OFilIdxk = 0. (5.13)
Левая часть в (5.13) антисимметрична по всем трем индексам i, k, I, поэтому (5.13) содержит лишь четыре независимых уравнения, которые получаются, если положить (г, k, I) равными, например, (1, 2, 3), (4, 2,3), (4, З, 1), (4, 1, 2)
соответственно. Легко проверить, что получившиеся уравнения совпадают с
четырьмя уравнениями (5.1а). Поскольку уравнения (5.4) выполняются в любой инерциальной системе, четыре величины' Si образуют 4-вектор. Аналогично величины Fih образуют антисимметрический тензор, если уравнения (5.13) справедливы в любой инерциальной системе. Тензор Fih называется тензором электромагнитного поля, а уравнения (5.13) или (5.1а) выражают тот факт,что ротор этого тензора равен нулю [см. (4.187)].
С учетом (4.190) уравнения (5.13) можно представить в форме
divz- F* = OFikIOxh = 0, (5.14)
где Ffk — псевдотензор, дуальный Fih. Он получается из Fih заменой в (5.12) E Н, H —>-------Е.
Соотношение (5.11) между Fih и Е, H совпадает с (4.83), следовательно, при пространственных вращениях векторы E и H преобразуются как полярный вектор и аксиальный вектор соответственно.
В случае общих преобразований Лоренца без вращения векторов E и H имеем уравнения (4.84'). Эти уравнения можно записать также в виде
E+-Y (v.E) {(1 — о2/^2)1 / 2 — 1} Ч- — (vxH)
E' —---------?-
(1—«2/с2),/2
H + (v-H) {(1 —V2Iс2)1 / 2 — l} — — (v X Е)
WJ / _ ____V* С_______
(I—V21 с'2)1
(5.15)
Следовательно, разделение поля на электрическое и магнитное, проявляющееся по силам, действующим на измерительные инструменты, не имеет абсолютного значения. Если, например, в системе S мы имеем чисто электрическое поле, т. е. H = 0, то в системе S', в соответствии с (5.15), уже H' 0. Это ясно и физически, поскольку существование чисто электрического поля в системе
S означает, что все заряды в 5 покоятся. Относительно системы S' эти заряды будут двигаться со скоростью —v. Следовательно, в S' имеет место стационарный ток, образующий магнитное поле в этой инерциальной системе.
С помощью (5.3) и (5.12) вторую пару уравнений Максвелла (5.16) можно записать в тензорной форме
SFiJdxh = Si. (5.16)
HO
1.1вая и правая части в (5.16) преобразуются как 4-векторы. Ковариантность уравнений (5.16) является следствием ковариантности уравнений (5.1а) и уравнения неразрывности (5.4). Это сильный аргумент в пользу справедливости (5.16). В частности, мы видим, что член (1/с) dEIdty т. е. ток смещения Максвелла, абсолютно необходим для ковариантности уравнений (5.16).
Дивергенция векторного уравнения (5.16) вследствие антисимметричности тензора электромагнитного поля равна нулю
SsiIdxi = ^iFikIdxi dxh = 0. (5.17)
Это уравнение неразрывности (5.4),
§ 5.3. 4-Потенциал. Калибровочные преобразования
Уравнения (5.1а) дают возможность представить векторы E и H в форме H = rot A; E=—grad<p—(11с)дAldtt (5.18)
где векторный потенциал А и скалярный потенциал tp всегда можно выбрать
