Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
так, чтобы они удовлетворяли условию'Лоренца в любой инерциальной систе-
ме:
div А + (1/с) dyldt = 0. (5.19)
Если теперь в каждой инерциальной системе определим четыре величины
Лг = (А, іф), (5.20)
то (5.18) и (5.19) примут вид
Fik = dAhldxi—dAl/dxh; (5-21)
QA-Jdxi = O. (5.22)
Поскольку Fik — тензор, потенциалы следует выбрать в различных инерциальных системах так, чтобы Ai преобразовывался как 4-вектор. В этом случаев, есть 4-потенциал. В соответствии с (5.21) и (5.22) тензор электромагнитного поля равен ротору 4-потенциала, дивергенция которого равна нулю. Более того, из (4.187)-(4.189) следует, что первая пара уравнений Максвелла (5.13) является следствием (5.21).
При заданном Fik 4-потенциал Ai определяется из (5.21) неоднозначно, так как если Ai удовлетворяет (5.21), функции
A* = Ai + dtyjdxif (5.23)
где г]) — произвольный скаляр, также удовлетворяют (5.21).
Преобразования (5.23) называются калибровочными преобразованиями, а измеряемые величины Fik — инварианты при таких преобразованиях. Условие Лоренца ограничивает класс допустимых калибровочных преобразований. Однако все еще остается большой произвол в выборе потенциалов Ail удовлетворяющих этому условию. Подстановка (5.23) в (5.22) дает условие для я|?
CW = 0, (5.24)
Таким образом, если гр — любое решение (5.24), то Af удовлетворяет как
(5.21), так и (5.22), если Ai удовлетворяет этим уравнениям.
Подставляя (5.21) в (5.16), с учетом (5.22) получаем
O2AiIdxh dxh = -Si, (5.25)
или
UAi=- St. (5.26)
Любое решение уравнений (5.26), удовлетворяющее (5.22), дает с помощью
(5.21) решение уравнений Максвелла (5.13) и (5.16).
111
§ 5.4. Интегральное представление 4-потенциала
Уравнение (5.25) имеет форму обычных потенциальных уравнений в (3+ -jT 1)-пространстве. Следовательно, их решение можно найти тем же методом, что и в трехмерном пространстве 1237]. Сначала выпишем решение уравнений
(5.25), предполагая, что все четыре координаты Xi действительны, т. е. четырехмерное пространство евклидово.
Пусть
Ri = Xi-Xi(P) (5.27)
есть 4-вектор, соединяющий фиксированную точку P с координатами Xi (P)
и переменную точку с координатами Xi. Если R2 = (RiRi) — квадрат рас-
стояния между этими точками, то в любой точке Xi ф- Xi (P)
U (MR2) = 0. (5.28)
Кроме того, если я]? (х) и ф (х) — две произвольные регулярные функции от л: = = (Xi), то
Ф ? ? ф = -JL I ф-^L — oj, д(р
dxk \ дхи Oxjl
Подставим в это уравнение ф = VR2 и проинтегрируем его по всему 4-мерному пространству вне сферы (3-мерной)
Я2 = Ri Ri = (Xi- (Р)} {Xi-Xi (Р)} = а2 (5.29)
с центром в точке P и радиусом а. Если в качестве переменной интегрирования
взять не Xf, a Ri = Xi — Xi (P), то с учетом (5.28) получим
— j —¦ IJ (Pdx1 йхг dx3 dxt = j* -JL (ф -L- . -L — J-JQ-J JR1 dR2 dR3 dRit (5.30)
где интеграл берется по четырехмерной области
R2 = RiRiXx2. (5.31)
Поскольку подынтегральное выражение в правой части (5.30) является суммой частных производных, а функция <р достаточно быстро убывает на бесконечности, то четырехмерный интеграл можно преобразовать в трехмерный интеграл по сфере (5.29). Тогда для первого члена в правой части (5.30) получим
а 1 д і I аФ V)dR2 dR3dRit (5.32),
і
dRj. Ri Ri SR1 J \ OR1 Ri R1
где интеграл берется по всей сфере (5.29); ( )+ и ( )~ означает, что в этих скобках
R1 = + {a2- (Rl + Ri + і?42)}1 /2 = ± (а2-р?)'/2, (5.33>
а область изменения переменных R2, R31 Ri определяется неравенством
p2 = R2+R2JrR2<a2' (5.34)
Для остальных трех членов, соответствующих k = 2, 3, 4 в правой части (5.30), получим выражения, аналогичные (5.32), циклической перестановкой индексов (1, 2, 3, 4) в (5.32). (Рассмотренные преобразования соответствуют теореме Грина для трех измерений.) Когда а —>- 0, объем трехмерной области интегрирования в (5.32) стремится к нулю как а3, и поскольку 1/R2 = 1/а2, второй член внутри скобок ( )± будет стремиться к нулю. Кроме того, поскольку
d(l/R'-)/dRk=-2Rh/R\ (5.35)
используя (5.33), в пределе при а -> 0 из (5.32) получаем
2ф (P) J (2 У Ci1-P21Iai) dR2 (IR^dRi, (5.36),
112
n ^ (P) — значение функции ф в точке Р. Область интегрирования (5.34) является внутренностью сферы Pi = а2. Три других члена, получаемые циклической перестановкой индексов, равны, очевидно, первому члену. Поэтому, вводя полярные координаты, для правой части в (5.30) окончательно имеем
16ф (P) (4 я/а4) f YtfzTl Pl dPi = 4л2 Ф (р). (5-37)
о
а уравнение (5.30) принимает вид
4л;2 Ф (P) — — J (UR2) ? ф^4 х, (5.38)
где d4х = dxxdx 2dx ^dx4. Это уравнение справедливо для любой регулярной функции ф. В частности, если ф — A1, то, учитывая (5.26), получаем формулу
(5.39)
4ntA,(P) = j(si/Rl)d*x,
Плоскость Xll
LCt(P)
X4(P)-Lr
с помощью которой можно вычислить Ai в любой точке P четырехмерного пространства, когда Si задано в каждой точке.
До сих пор мы считали переменные Xi действительными. Однако в физических задачах плотность 4-тока Si задается не для действительных, а для чисто мнимых значений х4, соответствующих t < t (P). Следовательно, в комплексной плоскости X4 (рис. 13) Si задается только на выделенном жирной линией участке мнимой оси. Поэтому, используя аналитическое продолжение функции Si в подынтегральном выражении (5.39), мы деформируем первоначальный путь интегрирования вдоль действительной оси в контур L вокруг выделенного участка мнимой оси. Тогда выражение (5.39) будет решением уравнения
