Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
OgnIdt -г OOixvIOxv = =; /fx + % (4.244)
или
dgn/dZ + divteuU) = ^. (4.245)
Уравнение (4.245) для импульса аналогично уравнению (4.242) для энергии. Оно описывает перенос импульса в материальной среде, а плотность обобщенной силы {* = f -f я в этом уравнении играет роль источника импульса.
Если умножить (4.244) на Xv и вычесть соответствующее уравнение, полученное перестановкой [л, v, получим
"Т~ (§ц Xv — gv -?) + ~§х~ 0V(x = fii Xv fv Xll. (4.246)
ut A.
Учитывая симметричность Ouv, последние два члена в левой части можно сократить. Вводя плотность углового момента и момента плотности силы f*
nifiv — Хц gv (4.247)
— Xfi /v XyfiI (4.248)
[см. (4.85)—(4.89)1, уравнение (4.246) можем записать в виде
OmiivIdt + д (/Tiliv Ux)/0x% = Cfliv. (4.249)
Здесь использовано выражение (4.240) для Oiav. Это уравнение можно представить в форме
OmiivIdt + (u grad) Iniiv + т^v di v и = Ciixv. (4.250)
Умножая (4.250) на GV и учитывая (4.204) и (4.208), получаем
d (m^v GV)/dt — Clixv bV. (4.251)
Это уравнение выражает теорему об изменении углового момента для малой частицы материальной среды объемом GV0-
Таким образом, симметричность тензора энергии играет очень важную роль, поскольку симметричность его пространственной части существенна для справедливости теоремы об изменении углового момента в ее обычной форме, а уравнение 0ц4 = 0411, т. е. (4.239), является выражением теоремы Эйнштейна об
инертности энергии.
Тензор энергии удовлетворяет еще одному соотношению
Qih Uh = Ji0 Ui Uk Uk = -[I0 с2 Ui = —h0 Uh (4.252)
где — плотность энергии в системе покоя.
107
Глава
5
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ВАКУУМЕ
§ 5.1. Фундаментальные уравнения электродинамики в вакууме.
4-плотность тока электрического заряда
В гл. 3 мы показали, что фундаментальные уравнения механики необходимо изменить таким образом, чтобы они удовлетворяли специальному принципу относительности. Уравнения электродинамики в вакууме (уравнения Максвелла) не нуждаются в этом, так как, как мы увидим далее, они уже инвариантны относительно преобразования Лоренца [197, 198, 65, 160, 162].
Представим себе две группы физиков-экспериментаторов, которые оборудовали свои лаборатории в двух инерциальных системах S и Sr и независимо проводят электромагнитные эксперименты. Посредством электрически заряженных пробных тел и магнитных компасных стрелок физики в системе S определяют векторы электрического поля E и магнитного поля H как функции координат х и /. Аналогичным способом физики в системе S' определяют векторы электрического и магнитного полей E' и H' как функции координат х' и Кроме того, обе группы физиков могут независимо друг от друга измерить плотности заряда р и р' в S и S' соответственно. В данной главе мы рассмотрим только электромагнитные явления в вакууме, где существует лишь один тип электрического тока — конвективный, не касаясь электромагнитных явлений ни в проводящих средах, ни в диэлектриках, ни в магнетиках. Следовательно, плотности тока в S и S' равны ри и р'и', где и и и' — скорости движения зарядов в 5 и S1 соответственно. Все эти величины — определенные функции от пространственных и временных координат в S и S'.
В соответствии с принципом относительности уравнения полей, образующихся при данных распределениях токов и зарядов, должны иметь одинаковый вид в обеих системах отсчета. Следовательно, обе группы физиков должны в результате своих экспериментов прийти к уравнениям поля Максвелла—Лоренца для пустого пространства.
Таким образом, пользуясь единицами Хевисайда, в системе 5 мы должны иметь
divH = 0; rot E -?- (I/<?) c>H/<9zf — 0; (5.1а)
divE--=p; rot H — (1/c) dE/dt = pule. (5.16)
Подставив штрих над всеми величинами в (5.1а) и (5.16), получим уравнения в системе S'. Уравнения (5.1а) и (5.16) совпадают с фундаментальными уравнениями классической электронной теории Лоренца.
Связь между и и и' дается формулой (2.55), но мы ничего не знаем о связи между р и р' или между Е, H и E', H'. Однако одним из наиболее фундаментальных экспериментальных результатов является тот факт, что электрический заряд во всех физических процессах сохраняется. Это по аналогии с (4.211) можно выразить уравнением неразрывности
dp/dt-{-d iv(pu) = 0. (5.2)
Оно является следствием уравнений Максвелла (5.16). Очевидно, что такое же уравнение выполняется и в системе S', т. е.
dp'fdt' + div'(p'u') = 0. (5.2')
108
Связь между р и р' должна быть теперь такая, чтобы для произвольного распределения заряда и тока (5.2') было следствием (5.2). Определяя в системе S четыре величины
Si = (pu/c, ip) (5.3)
и аналогичные величины s(- в системе S', уравнения (5.2) и (5.2') можно записать в виде
dsijdXi — 0 (5.4)
и
dsf Idxri = 0. (5-4')
В приложении 2 показано, что если (5.4') является следствием (5.4) для всех возможных распределений заряда и тока, то Si и s/ связаны соотношением
Sl = UikSk, (5-5)
где aih — коэффициенты преобразования координат, связывающего системы ShS'. Следовательно, Si есть 4-вектор, называемый плотностью 4-тока, а
