Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
4я Fih = RiCtk-Rk ah (5.59)
где О; — 4-вектор, с учетом (4.113) и (4.14) имеем
FikFfk = 0, (5.60)
где F% — псевдотензор (дуальный Fih) получается из (5.12) заменой (Н, Е) -v -+• (—Е, Н). Формула (5.60) тогда совпадает с формулой
(E-H) = O, (5.61)
т. е. во всех инерциальных системах электрическое и магнитное поля везде перпендикулярны друг другу. Кроме того, используя (5.12), (5.58) и (5.53), после несложных выкладок получаем
(4 л)2 FikFih = (4я)а 2 (| Hj2 - j E j2) = - 2е* CiKUc Re)*. (5.62)
115
Следовательно, для поля движущегося точечного заряда инвариант J H |2— — I E |2 всегда отрицателен. Этот факт вместе с (5.61) означает, что для любого события P всегда можно выбрать такую инердиальную систему, относительно которой вектор магнитного поля в точке P равен нулю. Чтобы получить H' = О, достаточно в (5.15) положить
V = C(ExH)AE2. (5.63)
Это всегда возможно, так как в соответствии с (5.61) и (5.62)
v = cEH/E2 = cHlE<.c. (5.64)
§ 5.6. Поле равномерно движущегося точечного заряда
Рассмотрим в качестве частного случая поле точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Мировая линия такого заряда представляет собой прямую в (3 + 1)-пространстве с направлением, определенным 4-скоростью Ui. Поскольку dUi/ch — 0, (5.58) сводится к формуле
4лFiu = (ecV(Ue Re)*) (Ri Uk-Rh Ui). (5.65)
Соответствующим выбором начала системы 5 можно добиться, чтобы ось х4 и мировая линия заряда всегда лежали в одной плоскости. На рис. 14, где
изображена эта плоскость, L — мировая линия частицы, a Q — точка пересечения направленного назад светового конуса с вершиной в произвольной точке P и мировой линии. Если А — проекция точки P на L, то вектор AP с компонентами х\1\ равный проекции вектора —Ri на направление, перпендикулярное к L, ортогонален 4-скорости Ui, поэтому
XiliUi
откуда
0;
-X1CliRi
Xl
!п V-(I)
, (5.66)
Рис. 14. Из (5.67) и (5.53) имеем
х}1>
-Ri-(UiIci)(UeRe). (5.67)
Xpxp = (UiRi)2Jci. (5.67)
В системе покоя S' точечного заряда ось х\ параллельна Ui и мировой линии L, поэтому
хр' = (г', 0),
(5.68)
где г — пространственный вектор, который соединяет точечный заряд и пространственную точку р\ соответствующую событию Р. Учитывая, что UiRi — инвариант, с помощью (4.39), (5.27) и (5.44) получаем
Ui Ri = Ul Rl = Ш = cr' (r' = \г'\) (5.69)
в соответствии с.(5.67') и (5.68). Кроме того, из (5.67) следует, что RiUh — — RhUi = —(X-uUk — XfyUi), и (5.65) можно записать в виде
AnFih = (е/cr'*) (іUi Xp-UhXl1'). (5.70)
В этом выражении вектор всегда можно заменить вектором
Xi = Xp-^aUb (5.71)
і и'-.
соединяющим произвольную точку прямой L с точкой Р, где а - постоянная. В произвольной системе S выберем теперь такой вектор х\2\ чтобы = 0. На рис. 14 этот вектор изображается линией BP. В системе S
Jtfik = (г, 0), (5.72)
где г—пространственный вектор, соединяющий одновременные положения точечного заряда и точки наблюдения Р, соответствующей событию Р. (Следовательно, в данном случае вектор г отличен от вектора г в потенциалах Льенара—Вихерта, являющегося пространственной частью вектора Ri.) Поэтому
AnFih == (е/сґ3) (Ui 42)-.-Uk х?% (5.73)
что с помощью (5.12), (5.72) и (4.39) приводит к следующим выражениям для векторов электрического и магнитного полей:
4лЕ =--------gr......; 4лН = —е——~и-*г . (5.74)
r'^Y I-UilIc- cr'% Yl-U1Ici
На рис. 14 видно, что оба вектора х\2) и х^ имеют в системе S' одинаковые пространственные компоненты г'. Поэтому связь между г' и г получается из преобразования (4.29) для вектора с компонентами х-2>=(г, 0); х[ 12)^-(г', х\2)Г). Поскольку скорость S' относительно 5 равна и,
г' = г + (и/и2) (и*г) {I — J- I—U2Ic2]! Y — U2Ic2, (5.75)
где
г’ = {г2 + (ит)2/(с2—и2))1'2. (5.76)
Разлагая векторы г и г' на параллельные и перпендикулярные составляющие к и, из (5.75) получаем
r II = г і! і VI — “V; r'± = r±. (5.77)
Здесь связь между гиг' соответствует лоренцеву сокращению в направлении и [см. (2.35)1.
Вектор электрического поля E параллелен радиусу-вектору г, a H перпендикулярен г и и. Формулы (5.74) соответствуют выражениям (5.61) и (5.62). Поверхности с постоянными значениями инварианта E2 — H2 являются, очевидно, эллипсоидами вращения, так называемыми эллипсоидами Хевисайда, которые получаются из сфер r' = const путем лоренцева сокращения в направлении движения заряда.
Выражения (5.74) можно более просто получить из преобразований (4.84') для вектора электрического поля. В системе покоя точечного заряда S' электрическое поле является сферически симметричным, а вектор магнитного поля равен нулю, т. е.
4лЕ' = er'lr'3-, Н' = 0. (5.78)
Поэтому из (4.84') и (5.78) следует:
4яЕ — {e/ґ3) [г' —{—(и¦ г') {(1 — а2!с2)У2 — I )]/(1 — U2Ic2)1/2-
(5.78')
4л H = (е/с) (и х г')/г'3 YI — U1Ic2.
Поскольку преобразованием, обратным (5.75), является
г = г' + и [(г'-u)lu2] {(1 —u2ic2ff2— I} (5.75')
[см. (2.35')], подставляя его в (5.78'), снова получаем формулы (5.74) для электромагнитного поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью.
