Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
или
cos P1 1
X01 — SinP1 х\]
¦ sin P1 X0 + COS P1 X0] '1 = уО-
4'
(4.172)
Таким образом, система S' (T1) не совпадает с системой S1 (0). Чтобы пространственные оси в S’ (T1) имели одинаковую ориентацию с пространственными осями в S' (O) или в 5, систему S' (T1) нужно повернуть в плоскости X1X2 на угол P1 в направлении движения частицы. Другими словами, оси системы S необходимо повернуть на угол —P1 = —2я (у — 1), чтобы привести их к одинаковой ориентации с осями S' (T1). Это обусловлено эффектом Томаса. Интегрируя формулу (2.65) для скорости прецессии Томаса по всему периоду Т, т т
получаем J (ddt = — ( (у — I) (v X v/v~)dt. Поскольку в рассматриваемом о "о
Случае V X V — ПОСТОЯННЫЙ ВеКТОр, перпендикулярный V И V, И иТ — VOiT = = 2nv, полный угол прецессии равен
О - —2л (у — I) - -P1. (4.173)
§ 4.16. Тензорные и псевдотензорные поля. Тензорный анализ
Как и в случае обыкновенного пространства, мы говорим о тензорном поле ранга я в (3 + 1)-пространстве, если с каждой точкой этого пространства связан тензор ранга п. В частности, мы имеем дело с тензорным полем нулевого ранга, или с так называемым скалярным полем, если с каждым точечным событием связано инвариантное число. Это означает, что в каждой системе S мы имеем определенную функцию координат ф (х) = ф (Xi) = ф (xlt х2, х3, Xi), такую, что
ф' (х') = ф (х), (4.174)
4 Зак. 1174
97
если ф' (х') — функция, соответствующая системе S', а числа (X1i) и (Xi) — координаты одного и того же события в системах ShS' соответственно. В общем случае ф' выражается через переменные х/ другим способом, нежели ф — через переменные X1. Следовательно, скалярная функция ф (Xi) не форм-инва-риантна. Скалярная функция является форм-инвариантной, если ф — функция только от одной величины (4.4), которая также форм-инвариантна.
Аналогично имеем тензорное поле ранга 1, если с каждым точечным событием связан определенный 4-вектор. Компоненты Oi(X) и a'jx') этого 4-вектора в двух произвольных системах координат ShS' являются функциями от координат точечного события, а
a'i (x’) = aihah (х), (4.175)
когда связь между переменными (х') = (х-) и (х) — (Xi) определяется формулами (4.3) и (4.13).
Для тензорных полей высших рангов справедливы уравнения, идентичные (4.174) и (4.175).
Из произвольного скалярного поля можно инвариантным способом образовать векторное поле с компонентами дфSdxi в произвольной системе координат S, поскольку из (4.13) имеем, что
дф'Ідх'і = (дфIdxk) (OxkIdxrl) = aik Oqldxh, (4.176)
где
OxJOxi — aik. (4.177)
4-Вектор Oqldxi называется градиентом ф и обозначается
gradj- ф = OqfOxit (4.178)
как и обычный градиент в трехмерном пространстве.
Аналогично из векторного поля аг (х) можно образовать тензорное поле ранга 2 с компонентами OaiIOxh в произвольной системе координат, поскольку
да¦ IOxrk = aie (OaJOxm) OxJOxtk = aie ahm OaJOxm. (4.179)
Антисимметричная комбинация OaJOxi — OaiIdxh также является тензорным полем второго ранга и называется ротором векторного поля аг (х), т. е.
rotift а == rotife (at) = OaJdxi—OaJOxk. (4.180)
(В выражении rot ih (ад, конечно, нет суммирования по 0- Ротор — антисим-метрический тензор. Поэтому в трехмерном пространстве ему соответствует аксиальный вектор rot а.
Сверткой тензорного поля OaiIOxh получаем тензорное поле нулевого ранга. Следовательно, из векторного поля at (х) можно образовать скалярное пол-
OaiIOxi = OaiIOxi, (4.181)
которое называется дивергенцией векторного поля at, т. е.
div a = div (а^ — OaiIOxi, (4.182)
и аналогично обычной трехмерной дивергенции div а. Если at — градиент скалярной функции -ф, т. е.
аг = д\|з/дх;, (4.183)
то дивергенция Oi имеет вид
OaJOxi = ОЩОхі Oxi = ? -ф, (4.184)
где
? = O2JOxi Oxi = OVOxil Oxil-(1 /с2) O2IOt2 = Д — (1 /с2) O2Idt2. (4.185)
98
Таким образом, оператор (4.185) является ковариантным оператором и называется оператором Д’Аламбера. (Это четырехмерное обобщение оператора Лапласа Д = д2 ZdxixOxv,.)
Тем же способом из тензорного поля ранга п всегда можно дифференцированием образовать тензорное поле ранга п + 1, а последующей сверткой — тензорное поле ранга п — 1. Как и в только что рассмотренных частных случаях, этот факт является следствием формул преобразования для тензоров, уравнения (4.176) и условий ортогональности (4.11) и (4.14). Следовательно, из тензорного поля второго ранга Zik можно построить тензорное поле Oti1Jdxt ранга 3, а последующей сверткой тензорное поле ранга 1, т. е. векторное поле
Clivi t = div; (tih) = OtihZdxkl (4.186)
называемое дивергенцией тензорного поля tik. Если тензорное поле Fih антисимметрично, то из него можно построить полностью антисимметрическое тензорное поле ранга 3
rotjft! F г rotikl (Fik) = OFihZOxl + OFJdxi + dFuldxh, (4.187)
которое называется ротором тензора Filt.
Перестановка любых двух из трех индексов приводит к перемене знака в (4.187). Поэтому rot ihlF = 0, если два индекса равны, и тензор rot tki имеет только 4!/3!1! = 4 независимые компоненты.
