Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
102
Теперь рассмотрим некоторое количество материи, которая в момент времени t занимает объем V, ограниченный замкнутой поверхностью /. К моменту времени t + dt этот объем увеличится на
dV = dt^ U71 df, (4.206)
t
где интеграл в правой части берегся по поверхности f, а ип — компонента и в направлении внешней нормали к элементу поверхности df; каждый элемент поверхности df за время dt проходит расстояние udt и заметает объем Un^dtdf.
С помощью теоремы Гаусса, (4.191), уравнение (4.206) можно записать в виде
d,V/dt = $ div u dV. (4.207)
v
Эго уравнение должно выполняться для каждой частицы материальной среды. Рассматривая материю, которая в момент t находится внутри ннфинитезималь-ного объема 8F, из (4.207) получаем
(\/6V)d8V/dt = divu. (4.208)
Предположим, что в данной системе собственная масса сохраняется. Тогда для любой материальной частицы объемом 5V в любой момент времени t имеем
A (J1q ay) - (d^/dt) 6У + (I0 d&V/dt = 0. (4.209)
dt
Отсюда с учетом (4.208) получим
d\i0ldt Ii0 div u = 0. (4.210)
Это уравнение, выражающее закон сохранения собственной массы, с помощью (4.204) можно привести к виду
d\i0fdt -f (u.grad (X0) + jx0 div и = 0,
ИЛИ
dji0/d/-}-div ([J0U) = 0. (4.211)
Поскольку [10и — плотность потока собственной массы, (4.211) является уравнением неразрывности и выражает тот факт, что собственная масса в рассматриваемой системе не имеет ни источников, ни стоков. Теперь с помощью (4.39) можно определить 4-скорость Ui в любой точке среды и в любое время. Поскольку Ui = Ui (х) — функция пространственно-временных координат, в (3 + 1)-пространстве мы имеем 4-векторное поле. Аналогично инвариантная плотность массы [г0, определяемая (4.199) и (4.202), может рассматриваться как скалярное поле в (3 + 1)-пространстве, при этом [г° в любой инерциальной системе является функцией от пространственно-временных координат:
її0 = [.I0 (.v) Y1—и2(х)/с2 = Ii0(X). (4.212)
Умножая скаляр u.0Ic на вектор Ui, получаем новый 4-вектор
Ci = [х° UlIc, (4.213)
который можно назвать 4-током плотности собственной массы. В соответствии с (4.39) и (4.202) для компонент C1 имеем
Ci = \\і°и/УC2-U2 , I [А0/]/1 —иг1с2} =Ift0 и/с, і ^0), (4.2і4)
а уравнение неразрывности (4.211) записываем в тензорной форме:
OciIdxi = (1 /с) ди° UiIdxi — 0. (4.215)
103
Левая часть уравнения (4.215) равна четырехмерной дивергенции (4.181) 4-тока плотности массы, поэтому ковариантность этого уравнения при вращениях в (3 + 1)-пространстве очевидна.
Силы, действующие на различные области непрерывно распределенной материи, являются частично внешними, частично внутренними упругими силами взаимодействия между соседними частицами среды. В данной главе мы пренебрегаем упругими силами, отложив их рассмотрение до гл. 6, и имеем дело с материей в виде некогерентной пыли. Предполагаем, что внешние силы являются объемными силами, которые в любой инерциальной системе S можно описать
плотностью силы f, определенной так, чтобы сила, действующая на элемен-
тарный объем 6V, равнялась f6V.
Теперь рассмотрим движение малой частицы объемом SV и с собственной массой P0SV = fx°6V°. Если Ui — 4-скорость, то 4-импульс частицы в соответствии с (4.50) равен
Pi = VfibV0Uii (4.216)
а 4-сила (4.54) с учетом (4.200) имеет вид
Fi = {f SVlY I-U2Ic2, і (f-u)6V/c/j/^ I —U2Ic11 =
= {f, i(f-u)/c}SV°. (4.217)
Поскольку SV0 — инвариант, a Fi 4-вектор, величина
/, = {f, І (f ¦!!)/?>, (4.218)
т. е. плотность 4-силы тоже 4-вектор.
Пространственные компоненты /; соответствуют обычной плотности силы, а /4 равна механической работе силы (за единицу времени и над единичным объемом), умноженной на і /с.
Движение рассматриваемой частицы описывается уравнением (4.55). Подставляя (4.216), (4.217) в (4.55), в случае сохранения собственной массы, т. е. когда (cf/rfx)([х°б V0) = 0, имеем
^dUiIdx = Ii. (4.219)
Поскольку ja° и dx — инвариантны, обе части в (4.219) — 4-векторы. Первые три уравнения в (4.219) — уравнения движения, а четвертое выражает закон сохранения энергии. В соответствии с (4.218) и (4.39)
UUi^O. . (4.220)
Эта формула, как уже указывалось в § 4.6, существенна при сохранении собственной массы. После умножения (4.219) на Ui и суммирования по і левая часть с учетом (4.41') обратится в нуль и уравнение (4.219) совпадет с (4.220).
Фундаментальные уравнения механики в форме (4.219) справедливы лишь
в случае сохранения собственной массы (например, если некогерентная пыль
не изменяет собственную массу излучением или поглощением лучистой энергии). В противном случае движение частицы с 4-импульсом (4.216) определяется не
уравнением (4.55), а уравнениями типа (4.58), (4.58'). Тогда обозначая
Пг - яг 61/°- Jti Wl(I-U2Ic2)lI2;
Jti = (я, і ф/с),
получаем
d(\L°6V9Ui)ldi: = (fi + nt)bV<t (4.222)
или
d (fi0 av® Ui) dt = (fi + Я;) SV. (4.223)
(4.221)
104
Очевидно, что я и (р представляют собой изменения импульса и энергии, которые не обусловлены действием внешней силы. В соответствии с (4.221) и (4.60) они образуют 4-вектор л;, удовлетворяющий соотношению
