Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
- якобиан. Простое вычисление для него дает
J = ( I + V • и' /с2) (I — V2/с2) -l/2 = (l+vp7?')(l — V2Ic1) -'I2=ElE', (в)
из которого следует, что
dpxdpydpzlE = dp’xdpydp'2/E' (г)
— инвариант. !Вычисление J наиболее просто в случае специальных преобразований Лоренца (3.32 а, б) и, поскольку величины в (г) инвариантны при пространственных вращениях, то формула (г) справедлива для любых преобразований Лоренца.]
Вводя в импульсном пространстве полярные координаты, формулу (г) можно представить в виде
р2 dp dialE = р'2 dp' dio'lE', (д)
где da> н d<?>' — телесные углы в направлениях р и р' соответственно. Эта формула справедлива н для частиц с нулевой собственной массой (фотон или нейтрино), для которых E = ср. В этом случае
pdpda = р' dp' da)', (е)
В статистической механике вводится еще один тип пространства — фазовое пространство. Для одной частицы это шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью числами рх, ру, рг, х, у, г. Элемент объема фазового пространства определяется произведением
dpx dpy dpz dx dy dz = dpx dpy dpz dV, (ж)
т. e. произведением элементов объема импульсного пространства и обычного пространства. Преобразование элемента объема в импульсном пространстве дается формулой (г), а в трехмерном пространстве формулой (л) (стр. 91), dV = dV0 (I — U2Zc2Y12-, dV' = dV0 (I — U1Vc2)1^ илИ
dV = dV' (I — uVc2)1 /2 / (I — и'2Ic2)1 /2 = dV'E'/E. (з)
Умножая формулы (а) и (з) и используя (в), получаем
dpxdpydpzdxdydz = dp'x dp'ydp'z dx' dy' dz’. (и)
Следовательно, элемент объема фазового пространства — инвариант.
§ 4.18. Основные уравнении механики для не когерентной материи
В качестве первого приложения математических методов, изложенных в предыдущем параграфе, рассмотрим движение непрерывно распределенной материи под действием известных внешних сил. Чтобы применить к такой системе фундаментальные уравнения движения материальных частиц, рассмотренные в гл. 3, будем считать непрерывное распределение массы предельным случаем распределения очень большого числа материальных частиц. Если частицы настолько малы, а их плотность так велика, что макроскопические измерительные приборы не позволяют различать отдельные частицы, то распределение массы в любой системе отсчета 5 описывается плотностью массы p. (х, t),
101
которую для практических целей можно считать непрерывной функцией пространственных и временных переменных, [х (х, t) определяется так, чтобы \idV равнялось полной массе вещества внутри элемента объема dV в точке х и в момент времени t. Движение материи в любой точке пространства и в любой момент времени описывается вектором скорости U = U (х, t), являющимся функцией от х, t. Тогда плотность потока массы равна pu. В ньютоновской механике масса — сохраняющаяся величина. Ho в теории относительности, в соответствии с формулой (3.22), это не так. Когда на материю действуют силы, скорость данной материальной частицы, а следовательно, и ее релятивистская масса изменяется со временем. С другой стороны, собственная масса материи во многих случаях сохраняется, например, когда 4-сила в любой точке ортогональна 4-скорости материи, т. е. когда уравнение (4.57) выполняется везде и всегда.
В произвольной инерциальной системе S плотность собственной массы ^0, т. е. собственная масса на единицу объема в соответствии с (3.22) связана с ,а формулой
(Li0 = [А — U2Ic2 (4.198)
(|х0, как и р., функция х и t).
Теперь в определенной точке внутри материи и в данный момент времени введем мгновенную инерциальную систему покоя S0. В этой системе (4.198) примет вид
Ii00-A (4-199)
где все величины относительно 5° отмечены верхним индексом «О».
В системе покоя плотность собственной массы совпадает с релятивистской
плотностью массы. В отличие от р0, pi" = [х°, т. е. является инвариантом. Легко
видеть, что I — U2Ic2 также инвариант, поскольку небольшое количество материи, имеющее в 5 объем бV, в системе -S0 имеет объем б]/0, связанный с Sl7 в соответствии с (2.34) уравнением
SV=SV0 f 1 — и2!с2- (4.200)
Тогда инвариантная собственная масса материальной частицы в обеих системах отсчета имеет вид
Po 6F = [х° SV0 = SV0. (4.201)
Учитывая здесь (4.200), получаем
М-о 1^1—и2/с2 = ^i0 = invariant (4.202)
или в соответствии с (4.198)
Ii(I-U2Ici)=-Ii.0. (4.203)
Следовательно, величины в левых частях (4.202) и (4.203) должны быть инвариантны.
Пусть теперь Ф = Ф (х, t) — определенная функция от х и / в системе S.
Здесь нужно различать локальную производную по времени дФIdt, учитываю-
щую изменение Ф за единицу времени в фиксированной точке пространства, и субстанциональную (полную) производную dG)/dt, учитывающую изменение Ф за единицу времени, когда мы следуем за материей в ее движении. Соотношение между полной и локальной производной следующее:
d(Dldt = d(H/dt + (u»grad<3>). (4.204)
Аналогичная формула справедлива и для векторного поля a = а (х, t):
da/dt = da.fdt(u*grad) a, (4.205)
поскольку для каждой компоненты а справедливо уравнение (4.204).
