Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
^idV= —d ^gdVIdt, (5.119)
поскольку J (dt^Jdx^dV можно преобразовать в интеграл по поверхности, где поле, а следовательно, и Zliv равны нулю. Левая часть в (5.119) представляет собой полную силу, действующую на материю, и равна увеличению механического импульса за единицу времени, dGm!dr. Таким образом (5.119) можно записать в виде
d(Gm+fedV)/dt = 0.
Поэтому, чтобы получить постоянство полного момента, мы должны величину J gdV считать электромагнитным импульсом. Отсюда следует, что плотность электромагнитного импульса равна Sfcz + С, где С—-постоянная. Ho поскольку g должна исчезать вместе с полем, C = O.
Теперь, определяя скорость распространения электромагнитной энергии формулой
w = S/ W, (5.120)
для плотности механического импульса по аналогии с выражением (4.239) можно записать
g = S/c2-wr/c2. (5.121)
122
Эта аналогия будет полной, только если скорость w, определяемая (5.120), удовлетворяет условию W ^ с.
Для плоской электромагнитной волны (E-H) = 0и? = тогда
w = \S\!W = 2 сЕНЦЕ* + Я2) = с,
i.e. энергия в такой волне распространяется со скоростью света.
Для поля произвольно движущегося заряда, учитывая (5.61) и (5.62), имеем
(E-H)-O; EfH = сс>1,
і. е.
w = 2 CEHKEi + H-) = 2са/( 1 + а 2)< с.
§ 5.10. Полный тензор энергии
Если в уравнении движения (4.235) некогерентной среды с сохраняющейся собственной массой использовать формулу (5.105) для выражения плотности электромагнитной 4-силы, то законы сохранения энергии и импульса для системы, состоящей из материи и электромагнитного поля, примут форму
STiJdxh = 0, (5.122)
где
T tk = Qik+ Slk (5.123)
полный тензор энергии системы. Компоненты этого тензора получаются из компонент Qik и Sih (см. § 4.19 и § 5.9). Имеем
TVv = wn UvIVl-U2Ic2-^x. (5.124)
Здесь Ivx — тензор напряжений Максвелла, и
________ T4ia = Vc- (5.125)
где S = Uja0C2ZyrI—((2Zc2 + с (Е X Н) — плотность потока полной энергии. Далее
Tili = Icgil, (5.126)
где
g = Mo ^lYI — UiIc2 +(Ex Н)/с
— плотность полного импульса системы.
И, наконец,
Tu = A, (5.127)
где h = ц0с2/|' 1 — и~1с- + (?2 + Нг)12 — плотность полной энергии.
С учетом (5.108) и (4.202) сумма диагональных компонент этого тензора равна
Tii =- Oii = —LL0C2 Yl-U2Ic2 = - HnC*. (5.128)
Глава
6
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ. МЕХАНИКА УПРУГИХ СРЕД. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
§ 6.1. Законы сохранения для замкнутых систем
В гл. 5 мы рассматривали движение некогерентной заряженной материи под действием электромагнитных сил. 4-Вектор описывающий эти силы, мы представляли в виде дивергенции тензора, который сам являлся функцией переменных электромагнитного поля. Принцип относительности требует, чтобы все сигналы распространялись со скоростью, меньшей или равной с. Поэтому мы не можем принять идею Ньютона о силах, действующих мгновенно на конечных расстояниях в пространстве. По-видимому, следует предположить, что все силы взаимодействия между материальными телами, как и электромагнитные силы, передаются посредством промежуточного поля. Таким образом, в общем случае полагаем по аналогии с (5.105), что все виды сил можно описать плотностью 4-силы являющейся дивергенцией некоторого тензора Sffe1 зависящего от переменных промежуточных полей. Тогда для замкнутых систем, состоящих из вещества и полей, способом, описанным в § 5.10, получим законы сохранения энергии и импульса в форме
BTrJdxh = 0, (6.1)
где Tih — полный тензор энергии замкнутой системы. Физический смысл компонент 7\14 и Т4цтотже, что и в (5.125), (5.126), (5.127), т. е.
Titt = (Hc) S11, (6.2)
где S — плотность потока энергии, и
TiXi = і Cgix; T44= —h (6.3)
(g и h — плотности полного импульса и энергии соответственно). Это справедливо для любой замкнутой системы, в том числе и для упругих сред. Уравнения (6.1) для і =~- 1, 2, 3 можно записать в виде
дТ ^Jdxv-^dgJdt = O, (6.4)
представляющем собой закон сохранения импульса в дифференциальной форме. Tiiv называется тензором напряжений или тензором потока импульса (см. § 4.19). Аналогично уравнение (6.1) при і — 4 представляет собой уравнение неразрывности для энергии (закон сохранения энергии)
div S-J- dh/di = 0. (6.5)
Полный тензор энергии для замкнутой системы должен быть симметрическим, т. е.
Tih = TkiS (6.6)
Пространственная часть этого равенства существенна для выполнения закона сохранения углового момента (см. § 4.19 и 6.2), и если этот закон справедлив в любой инерциальной системе, то (6.6) должно выполняться и для пространственно-временных компонент, т. е.
Tu4 = V (6.7)
124
или с учетом (6.2) и (6.3)
g = S ic\ (6.8)
Определяя скорость распространения энергии и* в системе, как и в случае электромагнитного поля (5.120), имеем
u* = S Ih. (6.9)
Равенства (6.7) или (6.8) можно записать иначе:
g = и */г/с2. (6.10)
Это выражение формально совпадает с уравнением (4.239) для плотности механического импульса и тем самым показывает, что плотность энергии соответствует плотности массы:
