Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(5.26).
Поскольку
д (XjR2)Sdxi(P)= -O(IjR2)Idxi, (5.40)
дивергенция Ai(P) с использованием формулы интегрирования по частям и с учетом (5.4) равна
-с°*
Рис. 13.
4л;2
5Лг(Р) _r W/*') dtx== Г ай х^0'
J dxt J dxt Ri
(5.41)
dxt {P)
Таким образом, решение (5.39) удовлетворяет условию Лоренца (5.22). Из (5.21), (5.39), (5.40) и (5.35) получаем следующее выражение для тензора электромагнитного поля:
2п* Fik (Р) = $ [(Ri Sh-Rh Si)!Rt] d*x. (5.42)
§ 5.5. Запаздывающие потенциалы. Потенциалы Льснара— Вихерта для точечного заряда
В формуле (5.39) порядок интегрирования может быть произвольным. Поэтому сначала будем интегрировать по Xi вдоль контура L (см. рис. 13), считая (X1, Xi, х3) постоянными. Если г— |х —x(P)j — пространственное расстояние между пространственными точками х и х (P), соответствующими событиям Xi и Xi(P), то
R2 = г2 -f [X4-X4 (P)Y = (Xi-Xi (P) + Ir} [X4-Xi (P) - ІГ}. (5.43)
113
Поэтому в комплексной плоскости Xi величина UR2 как функция Xi внутри контура L имеет полюс первого порядка в точке
Xi — Xi (P) — і г. (5.44)
Поскольку подынтегральное выражение в (5.39) не имеет других полюсов
внутри L, то по теореме Коши о вычетах имеем
J (SiIRz) (Ixi= — 2n\sil(xi—Xi (P) — ir) |*4=*t-_</>)= jts? {x, t (P)—rfc}/r. (5.45)
L
Следовательно, потенциалы (5.39) можно записать в виде
4яЛг (P) = Г (Si {х, t (P)-г/с}/г) dV, (5.46)
где интегрирование происходит в обычном трехмерном пространстве. Функция Si берется не в момент времени t (P), а в момент t (P)—r/с, в соответствии с конечной скоростью распространения электромагнитных возмущений. Поэтому потенциалы (5.46) называются запаздывающими потенциалами. Если (5.39) и (5.45) интегрировать вдоль кривой, полученной отражением L относительно точки Xi = іct (P), то найдем другое решение уравнения (5.26), соответствующее опережающим потенциалам. Однако такое решение, связывающее поле в определенной точке и в определенный момент времени с будущим распределением зарядов и токов, обычно не имеет прямого физического применения.
Теперь рассмотрим произвольное движение точечного заряда е, координаты которого X1X являются заданными функциями от времени t
Xili = Xii(I), (5.47)
Тогда 4-потенциалы можно получить из (5.46). Ho поскольку Si в (5.46) при учете запаздывания временной переменной довольно сложным образом зависит от переменных интегрирования, легче вернуться к исходному уравнению (5.39). Сначала будем интегрировать по пространственным переменным. Тогда, учитывая, что Si = 0 везде, кроме точек (5.47), в соответствии с (5.3) и (4.39) имеем
Si Cfx1 dx, dx5 = , ie)=—(l-----(5.48)
Я3 1 “ R2 V с } с V J R^
где u = (dxjdt) — скорость точечного заряда, Ui — соответствующая 4-ско-рость, а
= av(P)} [Xll(^-Xtl(P))-C2 \t—t(P)}2 = [Xi-Xi(P)]2.
Все эти величины являются функциями t или чисто мнимой переменной Xi, но при аналитическом продолжении их можно определять также и вне мнимой оси плоскости Xi. Поэтому из (5.39) получаем
4я2 Ai (P) = -J- [ (/I — uV UiIR2) dXi. (5.49)
tL
Подынтегральное выражение опять имеет полюс в точке (5.44) комплексной плоскости, и в окрестности этой точки знаменатель имеет вид R2 = == (dRVdxi)(xi — X4 (P) + і г), где функции
d R2Idxi = 2 Rk d RJdxi = 2 Rh Uh dr Idxi = 2 Rh Uh У\—U2Ic2/\с (5.50)
и г (t) берутся в точке Xi — Xi (P) + Ir = 0.
С помощью теоремы о вычетах получим [160, 162]
4я Ai (P) = eUtIUk Rh. (5.51)
Здесь Rh — 4-вектор, проведенный из фиксированной точки P к точке пересечения Q мировой линии
Xi=Xt(X) (5.52)
114
точечного зарядами направленного назад светового конуса
Fs=RtRt = 0 (5.53)
с вершиной в точке P (Ui), также берется в точке Q.
Если г — пространственная часть 4-зектора Ri, то для знаменателя в
(4.51) с учетом (4.39) и (5.44) имеем
и, R, , —*H_ri— +. ^ (Я ¦ г)+«. (5.54)
"j/l—U-Ic- "j/l — U2Ic1 ~]/\-U1Ici
В результате формула (5.51) примет вид
4яА (P) ¦
ей Ic
г-т( U- Г)/с
4жр (P) = -
. (5.55)
t (P)- Г/с
Выражения (5.55) представляют собой формулы потенциалов Льенара— Вихерта движущегося точечного заряда. При вычислении тензора электромагнитного поля Fik (P) в точке P с помощью (5.51) следует помнить, что собственное время т, соответствующее точке Q, является функцией координат точки P и определяется формулой (5.53) или с учетом (5.27) и (5.52) формулой
[X1 (S)-Xi (P)} Ixi (х)~Xi(P)) =0. (5.56)
Дифференцируя по хк (P), получаем
Ri [(dxi/dx) [OxIdxh(P))- бц] =0
или
Bxldxk (P) = RJRi Ui. (5.57)
Тогда из (5.21) и (5.51)
4лF (P) e^h I _^ ( e^i I
lhK ' dx I U1R1 I UmRm dx I U1R1 ) UmRm
или, используя (4.41),
AnFih(P) = -е-~ (RiJ^-Rk. dUi
(UiRi)2 \ dx dx
Ut-R^V1)- (5.58)
(U1R1)3 \ dx
Формулу (5.58) можно получить также непосредственно из выражения (5.42), если в (5.42) сначала интегрировать по пространственным переменным, а затем вдоль контура L комплексной плоскости х4, пользуясь теоремой о вычетах и учитывая, что функция IlRi в точке (5.44) имеет полюс второго порядка. Поскольку в соответствии с (5.58) Fik имеет форму
