Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Если Fih — ротор векторного поля, т. е. если
Fth = roU а = daJdx^OaJdxu, (4.188)
то rot Fih тождественно равен нулю
rotj/j! F = O. (4.189)
Точно так же мы говорим о псевдотензорном поле, когда с каждой точкой
пространства связан определенный псевдотензор. Следовательно, псевдоскалярное поле есть псевдотензорное поле нулевого ранга, псевдовекторное поле— псевдотензорное поле ранга 1 и т. д. Различным антисимметрическим тензорным полям можно поставить в соответствие дуальные псевдотензорные поля. Взаимосвязь между ними такая же, как и между тензорами и их дуальными псевдотензорами, определенными в § 4.12. Псевдовекторное поле, дуальное к rot ikjF, равно diViF*, где F*k — псевдотензорное поле, дуальное к Fih, так как в соответствии с (4.111) имеем
GFikZdxh = (1/2 i) eiklmdFlmjdxh = (1/і 3!) єШт (OFlJOxh + OFmhJOxl +
+ OFkJdxm). (4.190)
Следовательно, (IiviF* и rot ihiF дуальны друг другу.
§ 4.17. Теорема Гаусса для четырехмерного пространства
Если а = а (х) — трехмерное векторное поле, а V — область трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью f, то теорема Гаусса для обычного пространства выражается следующим уравнением:
§div a dt' = ^an df, (4.191)
V f
где ап — компонента вектора а в направлении внешней нормали п к элементу поверхности df. (Элементарное доказательство этой теоремы см. в приложении 1.) Теорема Гаусса позволяет преобразовать объемный интеграл [левая часть (4.191)] в интеграл по двухмерной границе объема V. Если п — единичный направляющий вектор внешней нормали, то (4.191) можно записать в другом виде:
^(daJdx^dV =^aix Uix df, (4.192)
У V'
где dV определяется формулой (4.110).
4* 99
Если элемент поверхности df параллелограмм, образованный инфините-зимальньши векторами dxSxm,, лежащими на поверхности /, то df можно представить тензором df^v = dxn^xv — dxv6xv, полученным из (4.102) заменой векторов Om,, 6ц на dxи 6%. С другой стороны, инфинитезимальный параллелограмм можно представить соответствующим аксиальным вектором dfопределяемым в (4.103). Поскольку этот вектор перпендикулярен элементу поверхности, то (4.192) принимает следующий вид:
5 (OatlJdxil) dV = 5 Oil df д = J ElivJi ^xv 8хк. (4.193)
V ) f
Здесь уже обеспечен такой выбор последовательности векторов dx^, Sxm,, чтобы аксиальный вектор df^ лежал в направлении внешней нормали к области V-
В такой форме теорему Гаусса сразу можно обобщить на четырехмерное пространство [237, 238]. Если at четырехвекторное поле и Q — область в (3 -f 1)-пространстве, ограниченная замкнутой трехмерной гиперповерхностью 2, то обобщенная теорема Гаусса принимает форму
^ Oa Jdxi dQ — § Eai d2f = (1/i) §Eai гШт dxk 6хг Axm. (4.194)
Q 2 2
Здесь dQ определяется из (4.124), a d2t- — из (4.117), где ah bt, Ci равны dxh
бxt, Axi соответственно. Эти величины являются инфинитезимальными векторами, принадлежащими граничному пространству 2 и выбранными так, чтобы вектор.і/21 был направлен вдоль внешней нормали к области й. И снова є = ], когда dZi — пространственноподобный вектор, и е — —1, если — времени-подобный.
Если часть границы 2 — гиперплоскость 2 (4) с постоянным значением X1 и точки на 2 (4) имеют большие значения времени, чем точки в ?2,то векторы dr,-, бхь Ax1 ортогональны временной оси, и их можно выбрать в виде dxt = = (dxu 0, 0, 0); бхг- = (0, о!х2, 0, 0); Ахг = (0, 0, dxs, 0). Тогда вектор й(2г = = (0, 0, 0, Idxidx2(Ix3) направлен по внешней нормали к й. Кроме того, поскольку dZj — времениподобный вектор, то для 2 (4) имеем
Edli=^OfOr 0, 4- dx і ^x2 dXg'j . (4.195)
С другой стороны, если точки в Q имеют большие значения времени, чем точки в 2 (4), то нужно переставить два из трех векторов dx-t, бх,-, Axi так, чтобы d2; лежал в направлении внешней нормали к Q, а в выражении (4.195) для Ed'S і заменить 1/і на і.
Множитель ? в (4.194) можно опустить, если при этом (І2; в каждой точке 2 выбрать так, чтобы он был направлен наружу или внутрь области fi, когда этот вектор пространственноподобный или времениподобный соответственно.
Если — 3-тензор, то по аналогии с (4.192) и (4.193):
^ (dttiv!dxv) dV = ^ ZjjpV nv df = ЕцАїз dx^bxfi. (4.196)
v f }
Обобщая (4.196) на (3 -f 1)-пространство, имеем
5 (dtihldxh) dQ = jj etik dZh = $ (e/i) tik Ehlmn dxt 6xm Axn. (4.197) й s
Во многих приложениях, и особенно в релятивистской квантовой теории используются интегралы от определенных функций в импульсном пространстве частицы. Это трехмерное абстрактное пространство, каждая точка которого характеризуется компонентами рх, ру, рх вектора импульса. Связь между импульсами р и р' в двух различных инерциальных системах с одинаковой
100
ориентацией пространственных осей определяется формулой (3.37). Поскольку E' = с (т\с2 + р'2)1/2, то это преобразование нелинейно, и по теореме Якоби
преобразование элемента объема импульсного пространства dpxdpydpz дается
формулой
dpx dp,j dpz = Jdpxdp'y dp', (a)
где
J = d (px> Py, pt)fd(p’x, p'y, pz) = \dpjdp'4 I (6)
