Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
117
Данное решение показывает, что формулы (5.74) справедливы и в случае движения с постоянной скоростью равномерно заряженной сферы. Это следует из того факта, что в системе покоя распределение заряда сферически симметрично. В этом случае г — расстояние от центра сферы, а е — полный заряд сферы.
Аналогичным образом можно определить поле «равномерно ускоренного» точечного заряда, т. е. заряда, совершающего гиперболическое движение (см. §3.4). При этом снова применимы два различных способа: либо непосредственно использовать выражение (5.58), справедливое для произвольно движущегося заряда, либо ввести систему S*, движущуюся вместе с зарядом, и решать уравнения Максвелла в этой системе, а затем преобразовать решение к системе S. Однако S* уже не будет инерциальной системой, и, следовательно, последний способ требует развития общей теории относительности, позволяющей использовать произвольно движущиеся системы отсчета. Необходимый для этого аппарат будет развит в § 8.16 и 10.9.
§ 5.7. Электромагнитные силы, действующие на заряженную материю
С помощью формул, полученных в предыдущих параграфах, можно вычислить поле, создаваемое произвольным распределением зарядов и токов. Рассмотрим обратную задачу о влиянии данного поля Fik на движение электрически заряженной материи. Сначала определим силу, действующую на заряженную частицу с зарядом е, движущуюся в заданном электромагнитном поле
со скоростью и относительно определенной инерциальной системы 5. В соответствии с методом, изложенным в § 3.4, введем инерциальную систему S0, в которой частица в данный момент времени покоится. В системе S0 по самому определению вектора электрического поля E0 в этой системе сила F0 должна быть равна
F0 = еЕ°. (5.79)
Подставляя (5.79) в (3.43) и учитывая, что скорость S6 относительно S равна скорости частицы и, с помощью преобразований (5.15) для векторов электромагнитного поля легко получим лоренцево выражение для силы F в системе S:
F = e{E + (l/c)(uxH)j. (5.80)
Таким образом, это выражение следует непосредственно из принципа относительности, без привлечения дополнительных гипотез.
Формула (5.80) получается более простым способом с помощью четырехмерного представления и определения 4-силы Минковского. В рассматриваемом случае собственная масса сохраняется, а 4-сила определяется формулой (4.54). Следовательно, в системе покоя
Ff = (F0, 0). (5.81)
Если Ui — 4-скорость частицы, то можно ввести 4-вектор с компонентами
eFihUh[c. (5.82)
В системе S0
Uf = (0, 0, 0, ic), (5.83)
а компоненты 4-вектора (5.82) в соответствии с (5.12) равны
(efc) Ffk Ul = (гЕ°, 0). (5.84)
Из (5.79), (5.84) и (5.81) видно, что компоненты 4-векторов Fi и (5.82) в системе покоя равны. Ho два 4-вектора, имеющие одинаковые компоненты в какой-нн-будь системе отсчета, совпадают. Поэтому в любой инерциальной системе
Fi-=(ClC)FihUh. (5.85)
118
Поскольку Fik — —Fhi, в соответствии с (4.57)
FiUi = (е/с) FikUkUi = O, (5.86)
и уравнения движения частицы с учетом (4.56) и (5.85)’имеют вид
т0 dU-JdT = (е/с) Fih Uh. (5.87)
Вычисляя компоненты Fi в (5.85) с помощью (5.12) и (4.39), получаем выражение (4.54), где F определяется формулой Лоренца (5.80).
Рассмотрим в заданном внешнем поле непрерывное.распределение заряженной среды с плотностью 4-тока (5.3), (5.9), т. е.
Sj = (pu/c, ip) =р 0UJc2. (5.88)
Найдем выражение для плотности электромагнитной 4-силы /г типа (4.218).
Рассмотрим в определенный момент времени определенную точку в пространстве, в которой заряженная среда движется с некоторой скоростью. Пусть
S0 — мгновенная система покоя среды в этой точке. В этой системе s'/ = (0, 0, 0, г'р°), а 4-вектор
Fik Sh (5.89)
имеет компоненты
Fh Sl = (о0 E01 0). (5.90)
Эти компоненты равны соответствующим компонентам (4.218) плотности
4-силы в S0
f? = (f°, 0). (5.91)
По определению вектора электрического поля плотность силы в системе покоя должна быть равной
f0 = р° E0. (5.92)
Поэтому в любой системе координат плотность электромагнитной 4-силы должна равняться 4-вектору (5.89), т. е.
f i = Flksk, (5.93)
Из (4.218), (5.93), (5.88), и (5.12) немедленно получаем лоренцево выражение
для плотности силы
f = p{E + (l/c)(ux Н)}. (5.94)
Кроме того, вследствие антисимметричности тензора поля
Їі Ui = Fik sk U1 = ^Ui Fih Uk а 0, (5.95)
откуда следует, что f-t имеет характер истинной механической 4-силы. Если среда состоит из заряженной некогерентной пыли с сохраняющейся собственной массой, то уравнения движения в соответствии с (4.219) и (5.93) имеют вид
^dUJdx = Ii = FihSh. (5.96)
§ 5.8. Вариационный принцип в электродинамике
Уравнения поля Максвелла и уравнения движения (5.96) можно получить из некоторого вариационного принципа, сформулированного Вейлем [274] и Борном [31]. Если положить
Fik = dAh/dxi~dAi/dxh,
119
где Ai —4-потенциал, то первая пара уравнений Максвелла (5.13) тождественно удовлетворяется. Теперь рассмотрим инвариантный интеграл
