Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
P = h/cK (6.11)
Следует заметить, что скорость и*, определяемая в (6.9), может быть больше с, и даже если и* меньше с, то лоренцевы преобразования для и* в общем случае уже не будут соответствовать преобразованиям (2.55) для скорости материальной частицы. Кроме того, плотность энергии h может быть и отрицательной и соответствовать, таким образом, отрицательной плотности массы h/c2.
Определяя в каждой системе координат четыре величины Sit где
Sj = (S, і ch) — сТ4j /і, (6.12)
из (6.5) в каждой системе координат имеем
BSJdxi = O. (6.13)
Однако величины Si не преобразуются как компоненты 4-вектора. Если предположить, что А >• 0 и и* <С с, то
SiSi-S2-C2A2CO. (6.14)
Тогда в каждой системе координат можно определить четыре величины Ut, аналогичные 4-скорости частицы:
Щ = {u*/VaI-ц*2/с2, і clf \— uVc1}. (6.15)
Эти величины преобразуются как компоненты времениподобного 4-вектора тогда и только тогда, когда скорость и* преобразуется как скорость частицы.
Найдем условие, которому в этом случае должен удовлетворять тензор Tik. Поскольку
1/1— U*2lc2 — YI — S2Ih2C1 =( — SiSi)i?2jhc,
то
(J* = I cS і he2 } = cSj
(-S1S1)1/2' (-SlSlJ^j (-S1S1J''2' (6 16)
Utm^--C2.
Рассмотрим бесконечно малые преобразования Лоренца
xI=xIjTeIhxI^ e/ft=—єйг’ (0-17)
связывающие пространственно-временные координаты двух инерциальных систем S и S'. Из формул преобразования для тензора имеем
Ta = FiijTe4eTeijT eik Tik.
Тогда, учитывая (6.12), находим, что
Si = Si + гік 5/j + (с/i) eAk Fki; I S; SZ = Si Si+ (2с/і)є4Ь ThiSi. j (ЬЛ7 }
125
Раскладывая (6.16) в ряд по Eik с учетом (6.17) и пренебрегая членами порядка выше первого, получаем
Vf' =-----^-гтт = ^* + Vt +----------^77- (Tki + -ulrIl . (6.18)
(-S1Sz)1'2 і (-SjSj)1/2 ^ са /
Оіедовательно, для того, чтобы V* преобразовывалась как 4-вектор, тензор Tik при і — 1, 2, 3 и любых k должен удовлетворять условию
+ = (6.19)
Для і = 4 уравнение (6.19) тождественно удовлетворяется. Это условие также и достаточное. В самом деле, если (6.19) выполняется в S, то
Uf = U^eiiVl (6.20)
Тогда Rih при переходе от S к S' преобразуется как тензор, и (6.19) справедливо и в системе S'. Поскольку конечное преобразование Лоренца можно рассматривать как бесконечную последовательность бесконечно малых преобразований Лоренца, то (6.19) можно считать общим условием, которому должен удовлетворять тензор Tik, чтобы скорость энергии и* преобразовывалась как скорость частицы.
В общем случае тензор энергии физических систем не удовлетворяет условию (6.19). Существует однако, несколько случаев, когда это условие выполняется. Например, для системы, состоящей из некогерентной материи, на которую не действуют внешние силы, Tih = Qih = Ii0UiUkf т. е.
St=-ZrVfUlUt, Ut- f' ^i = Ui
і (-SiSl)Ч-
И
Rlk= Ta + IiliM - и, U1 + - и, U1U1 Ut _ 0-
C2 C3
В этом случае скорость распространения энергии совпадает со скоростью среды. Однако для упругой среды, как мы увидим в § 6.4, условие (6.19) в общем случае не выполняется. Далее, в § 7.8 мы встретимся с другим важным случаем, когда по физическим причинам условие (6.19) должно выполняться.
§ 6.2. 4-Импульс, 4-тензор углового момента для замкнутых островных систем
Если
gi —TiJic = ^gf і/г/с), (6.21)
то условие симметрии (6.7) можно записать в виде
Si = SiZc2 (6.22)
и из (6.13) для замкнутой системы
DgiIdxi = 0. (6.23)
Следует ПОМНИТЬ, ЧТО величины gi и Si не являются 4-векторами.
Теперь рассмотрим островные системы, т. е. такие системы, для которых за пределами некоторой области физического пространства в любой момент времени Tik = 0. Если умножить (6-1) на dxtdx2dx3 и проинтегрировать по всему физическому пространству при постоянном х4, то первые три члена в (6.1),
являющиеся частными производными Tliv от пространственных координат
Xv, обратятся в нуль. Следовательно, получаем уравнение d J Ti^dVldxi = 0, которое показывает, что четыре величины
Gi= ^gidV= (G, UiIс) (6.24)
126
для островных замкнутых систем не изменяются со временем. Gh H представ-аяют собой!полный импульс и полную энергию системы соответственно. Величины Gi преобразуются как компоненты 4-вектора (вектора 4-импульса). Эго можно показать следующим образом.
Пусть cti — произвольный постоянный 4-вектор. Тогда 4-вектор
bk ^aiTik (6.25)
в соответствии с (6.1) удовлетворяет уравнению
dbkldxk^ 0. (6.26)
Умножим (6.26) на dQ — (1/i)dxldx2dx^ixi и проинтегрируем по конечной области ?2 в (3 + 1)-пространстве, тогда с помощью обобщенной теоремы Гаусса получим
О = $ (дЬк/дхк) dQ = J Bbh dZk, (6.27)
где 2 — трехмерная граница области Q.
Поскольку исследуются ограниченные системы, то в области (3 + ^-пространства, в которой Tik отличен от нуля, совокупность мировых линий системы образует мировую трубку с конечным поперечным сечением в пространственноподобных направлениях.
Рассмотрим две произвольные координатные системы S и S' в (3+1)-пространстве и две гиперплоскости S1 и S2- определяемые условиями X4 =