Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь, определяя 4-тензор относительного углового момента /ttjfc относительно собственного центра масс
Щи= \{(Xi — Xi)gh — (xh—Xll)gi}dV=Mih — (XiGk — GiXk) (6.41) и дифференцируя его по X4 и т, с учетом (6.40) получаем dm^/dx^ = 0; dmihld% = — Ui Gh + Uk Gi = 0.
Следовательно, два пространственных вектора шип
m=x(m23, Otm, m12);
(6.42)
in = (m14, /п24, тЗІ)
не изменяются при движении. Поэтому в (6.41) можно положить X4= Xi и с помощью (6.42) и (6.41) получить
m = ${(х_х) XgJdKU4=*.; —п/с = Jj (А/с2) (х — X)dV Ut=X4 =
(6.43)
Таким образом, m — вектор относительного углового момента относительно центра масс, т. е. внутренний угловой момент, а —п/с — момент массы относительно той же точки. Решение второго уравнения относительно X дает
X = (1/Я) j Ax dV U=X1 -f cnlH = X(S) + сп/Я, (6.44)
где X (S) и X (S0) = X— одновременные радиусы-векторы центра масс C(S) и собственного центра масс С (S0) соответственно.
5 Зак. 1174
129
Из (6.44) видно, что различные центры масс совпадают только тогда, когда п, а поэтому и mih равны нулю в любой инерциальной системе, т. е. если рассматриваемая физическая система не имеет внутреннего углового момента. Для системы S0 уравнение (6.44) принимает вид
п° = 0 или (6.45)
так как, по определению X0 = X0 (S0). Это условие эквивалентно ковариант-ному уравнению
mihGh = 0, (6.46)
что видно из (6.36), если (6.46) записать в системе S0. Это уравнение ковариант-ным образом выражает тот факт, что собственный центр масс является центром масс в своей собственной системе покоя.
Если пространственные оси в S и S0 имеют одинаковую ориентацию, то с помощью формулы преобразования (4.84) для антисимметрического тензора и (6.45) получаем
n = (v X m°)/]/c2— V2, (6.47)
где V = —и — скорость системы S относительно S0 и т° — внутренний угловой момент в системе покоя.
Разница между одновременными положениями центра масс в S и собственного центра масс определяется в соответствии с (6.44) и (6.47) не зависящим от времени пространственным вектором
a (S) = X (S)—X= —?пШ = (т°х v)/7W0c2, (6.48)
где мы использовали соотношение H — M0C1IYI — ^2Zc2 = M °c2/Y I — V2Ici, следующее из (6.40). Поскольку переход от S к S0 определяется преобразованием Лоренца без вращения, а вектор а перпендикулярен относительной скорости V, расстояние между этими двумя центрами в системе покоя S0 также определяется формулой (6.48). В системе покоя S0 все центры масс С (S) получаются при варьировании S или v в (6.48) и образуют двухмерный круглый диск, перпендикулярный вектору углового момента Hl0 с центром в собственном центре масс C0 и радиусом
р = |ш°|/М0с. (6.49)
В нерелятивистском пределе, при с-> оо, радиус диска стремится к нулю и остается только один центр масс —¦ ньютоновский центр масс. Ho в релятивистском случае имеет место не один центр масс, а геометрическое место центров масс, т. е. вышеупомянутый диск с центром в собственном центре масс. И только в отсутствие внутреннего углового момента в системе радиус диска (6.49) равен нулю. В действительности для всех макроскопических систем радиус (6.49) очень мал по сравнению с размерами системы. Например, для Земли
р = |т°|/УИ0с» 10 Mt (6.50)
Для систем с размерами атомного порядка радиус диска центров масс сравним с размерами системы.
Теперь можно сделать определенные выводы о размерах системы с данными внутренним угловым моментом in0 и собственной массой M0. Рассмотрим произвольную физическую систему, которая в системе покоя S0 целиком лежит внутри сферы с центром в собственном центре масс C0 и радиусом г, т. е. систему, для которой все компоненты тензора энергии вне сферы равны нулю. Если, кроме того, плотность энергии h положительна в любой системе отсчета, то весь диск центров масс должен лежать внутри сферы, так как произвольная точка С (S) диска, являющаяся центром масс в системе координат. S, должна лежать внутри физической системы, поскольку h положительна. Отсюда
г ^ р = |ш° \/М0 с, (6.51)
130
т, е. система с положительной плотностью энергии и с данными внутренним угловым моментом т° и собственной массой покоя Af0, в соответствии с (6.51), всегда имеет конечные размеры. Если размеры системы меньше р, то h не может быть положительной во всех инерциальных системах.
§ 6.4. Фундаментальные уравнения механики упругих сред
В §4.18 и 4.19 мы исследовали механику некогерентной материи, движущейся под действием данных внешних сил. Теперь рассмотрим механику упругой среды в отсутствие внешних сил. Единственными силами в такой среде будут силы упругости между соседними частицами, обусловленные деформацией материи. Следовательно, мы имеем дело с замкнутой системой, являющейся частным случаем систем общего вида, рассмотренных в § 6.1. Поэтому полный тензор энергии Tik исследуемой механической системы должен удовлетворять уравнениям (6.1)—(6.11). Однако механический тензор энергии, как мы сейчас увидим, имеет в данном случае особенно простые свойства.
Если рассмотренные в § 4.18 силы были объемными, то силы упругости — поверхностные и имеют поэтому совершенно другую природу. Рассмотрим в определенной точке р трехмерного подпространства, пространства Минковского инфинитезимальный поверхностный элемент^/ с нормалью, определяемой единичным вектором п. Каждая сторона этого элемента испытывает действие силы, пропорциональной dt. Пусть
