Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, величина
dTt = SihJFh (6.102)
также 4-вектор, удовлетворяющий в соответствии с (6.76) соотношению
UiJTi = 0. (6.103)
Компоненты JT1 этого 4-вектора с учетом (6.101) и (6.90) следующие:
JTі = Sih JFk = у (Siv + і Su UvIc) dfv =
~ У (S[V—Sii Uv/1/4) dfv = ytiV dfv.
Используя (6.100), получаем, что
CiTi = Iydt(U), (і/с) у (u dt (п))}. (6.104)
Таким образом, JTi имеет форму 4-силы Минковского (4.54), удовлетворяющей соотношению (4.57), следовательно, поверхностная сила упругости dt (п) — истинная механическая сила. Относительный тензор напряжений связан с внутренней деформацией материи. В системе покоя 5° эта связь определяется уравнениями обычной теории упругости, а для малых деформаций — законом Гука. С помощью трансформационных свойств тензора напряжений эту связь можно определить в любой инерциальной системе [112].
Упражнение
Показать с помощью уравнений (6.80), (6.82) и (4.208), записанных в системе покоя, что движение малой частицы среды с объемом покоя б У0 описывается уравнением
d8Pi/dT = 8F*, (а)
где
6F*=f*6VбР;=ф“бУ°) Ui = SmaUi. (б)
В противоположность 4-импульсу SGj в (6.69), величина SPj, которая является 4-импульсом, если частица свободная, представляет собой 4-вектор. Поскольку 6Fi Ui = = QiUi) SV0 Ф 0, SfT —обобщенная сила, вызывающая изменение собственной массы Sm0 частицы. Уравнение (а), таким образом, является уравнением вида (4.68).
§ 6.5. Тензор напряжений и тензор энергии. Трансформационные свойства
В системе ПОКОЯ 3-тензор Sjiv = = T0liv определяется действительной
симметричной матрицей. Она имеет три действительных собственных значения P(0O), которые мы помечаем индексом сг = 1, 2, 3. Соответствующие нормированные собственные векторы h0 <а) удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты:
h(«)о J1(P)O^6CP. Sl(C)Oh(O)O = б^_ (6Л05)
(Как всегда, выполняется правило суммирования от 1 до 3 по двум повторяющимся в одном выражении греческим индексам.) Собственные значения р(°а) — главные напряжения — являются корнями алгебраического уравнения третьей степени относительно неизвестной X:
I SHv-^ixv I = I Cv-^v і - 0. (6.106)
Матрица выражается через собственные векторы и собственные значения
S0liv=C = PUW0 W0. (6.107)
136
Пусть теперь Атри 4-вектора со следующими компонентами в системе 5°:
A<o)0 = (h(o)0, 0). (6.108
Они образуют ортогональную триаду пространственноподобных единичных векторов. Из (6.107), (6.78) и (6.108) непосредственно следует, что 4-тензор напряжений в S0 имеет форму
З?* = Р(о) h\0) 0 hk*)0. 9 (6.109)
Поэтому, определяя Р(0а) в любой системе S как скалярные функции координат (Xi),' имеем
Sih^P0w h^ hf. (6.110)
Кроме того, из (6.79), (6.80), (6.110) и (6.90) имеем
Tih = \i° Ui Uk + р?0) А}°> hiai; (6.111)
= V--V VvIU4 = р?0) h™ (h[0) + іА<а) IhIc). (6.112)
Полагая
A<a) = (h(CT), Af>) (6.113)
и вводя обозначение а©Ь, для прямого произведения пространственных векторов а и Ь, являющегося 3-тензором с компонентами a^bv, уравнение (6.112) для
относительного тензора напряжений t можно записать в виде
t = Р(о) {h(CT) О h(CT) + (i/с) h[a) (tia) G u)}. (6.114)
Триада векторов удовлетворяет, очевидно, тензорным соотношениям
A^Ajpl = Sop; С АГ =Ajftj (6.115)
где Ajfe определено в (6.73). В системе покоя эти уравнения совпадают с (6.105) и (6.108).
Если система покоя S0 в каждой точке выбирается так, чтобы ее пространственные оси имели одинаковую ориентацию с осями системы S, формулы (4.29) и (6.108) при V = и дают
hw = h<0»" + »(uhle,")(Y-l)/u8; I , и
Al05 = iu -h(c)0 уlc. J
Подставляя (6.116) в уравнения (6.110)—(6.112), получаем формулы преобразования для требуемых величин. Например, полагая в (6.111) i~k~A, получаем
Л= —Tii= -H0 U24-P0w (u-h^VYVA' (6.117)
В системе покоя (6.114) сводится к выражению
t0 = Р(а) (h(C7)0 О h(cr)0). (6.118)
Поэтому (6.117) дает следующий закон преобразования для плотности энергии:
A = (A°-bu-t°-u/c2)/(l — U2Ic2); \
U-t°-U = UnfJivMv )
и плотности массы:
H- = G*° + u*t°-u/c4)/(l—и2/с2). (6.120)
Последнее уравнение является обобщением уравнения (4.203), справедливого
лишь для некогерентной материи.
137
Аналогично, полагая і = [A, k = 4, из (6.116) и (6.111) для плотности импульса g с компонентами g^ = TmIic получаем
g = U {h° + u-10¦ U (I — Y_1)/«2> vVc2-h(t0-u)у/с2; )
= Г ( }
И, наконец, выражения (6.116) и (6.112) для относительного тензора напряжений дают
t = t0 + uO(t°-u)(Y-l)M2-(t°-u)Ou(Y-l)/YW2-
- (и © и) (и • t0 • и) (у — 1)2/уи*. (д. 122)
При малых скоростях и все эти выражения можно разложить в ряд по малому параметру м/с. Пренебрегая величинами второго и высшего порядка малости относительно м/с и замечая, что |t°| < h0 = (Л°с2, из (6.119) — (6.122) имеем h — h0; [A = [A0; g = [a°u; t = t0. Таким образом, в данном приближении мы получили уравнения нерелятивистской механики континуума в полном Соответствии с общим требованием для релятивистского обобщения нерелятивистских теорий.
