Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
массы O0Ic2 и с плотностью обобщенной 4-силы — pj. Поэтому тензор
Qik = OOUiUkIci ,д)
играет роль кинетического тензора (6.80).
Показать, что 4-энтальпия
ЬЕі •-= Ui a0 SV0Ien- (е)
малой частицы среды с собственным объемом SV0 удовлетворяет уравнению вида
d(8Ei)/dx = 6F*, (ж)
где
SFf=-PiW0 (з)
имеет характер обобщенной силы.
§ 6.7. Скалярные мезонные поля. Общая теория поля
Если силы взаимодействия между атомными ядрами и электронами в атоме целиком описываются электромагнитными полями, характерные короткодействующие силы взаимодействия между составляющими частицами ядра — ядер-ные силы — имеют неэлектромагнитную природу. Для описания ядерных сил Юкава [283] ввел так называемые мезонные поля. Простейший тип мезонного поля — скалярное поле, описываемое инвариантной скалярной полевой функцией Y (Xi), удовлетворяющей уравнению
d^W/dxidxi — A2Y = O, или ? ?—^81F=O. (6.152)
Здесь k — постоянная, связанная с радиусом действия ядерных сил. В случае
«нейтрального» мезонного поля 1F — действительная функция пространственно-временных координат (Xi). Вводя обозначение = OyYIdxi, уравнения поля представим в виде
OWiIdxi- = 0. (6.153)
Эти уравнения можно вывести из вариационного принципа
6jS(?, 1Fi) dQ = 0, (6.154)
где
S = -(ViWi^k* ^)/2. (6-155)
142
Если предположить, что вариация 6Т = 6Т (Xi) равна нулю на границе про-извольной 4-мерной области интегрирования, то, поскольку 647; = (S1F),
имеем
б 1SdQ = j6?dQ = J (-Ц- 6Y + Ц- 6Y,) dQ =
<6Л56)
Так как это выражение должно равняться нулю при любой вариации 1F рассматриваемого вида, то уравнение
зе а /ае\==0 (6.157)
дУ Oxi \ дЧі
представляет собой уравнение Эйлера соответствующего вариационного принципа (6.154). Уравнение (6.157) совпадает с уравнениями поля (6.163), если ? определяется формулой (6.155).
Тензор энергии скалярного мезонного поля дается формулой
Tik = 'FiWk+ Zdih = Vi ^-(4^ + ^)6^/2. (6.158)
В соответствии с уравнениями поля (6.153) этот тензор удовлетворяет уравнению
OTihIdxh = O, (6.159)
справедливому для замкнутых систем. Скалярное поле является частным случаем поля общего вида, описываемого совокупностью полевых переменных:
Q5=Qs(*,) = W1M. <?(*,)...}. (6Л60)
Предположим, что уравнения поля можно вывести из вариационного принципа
б JfidQ = O, (6.161)
где
S = S (Q\ Q}) (6.162)
— некоторая алгебраическая инвариантная функция от полевых переменных и их первых производных;
Qf=SdQVdxi. (6.163)
Это значит, что уравнения поля являются уравнениями Эйлера
dZ/dCf—dfiZldQ^/dXi = 0, (6.164)
вытекающими из вариационного принципа (6.161). Поскольку предполагается, что g — инвариант, уравнения (6.164) имеют одинаковую форму в любой инерциальной системе.
В силу уравнений поля (6.164) величина
Qift= -|(dQ/dQj;)Q$ + Salk (6.165)
удовлетворяет дивергентному соотношению
dQ .Jdxh = 0. (6.166)
В самом деле,
dQih у д2 д1$ чу д2 ,у / д2 д<$ <32 \
dxh 2idQl dxh »гс dxt ^ dQ\ dXi J
0.
143
Здесь использовано соотношение DQuIdxh = DQlldxi, следующее из (6.163). Поэтому величину (6.165) можно считать тензором энергии поля.
Если 2 — инвариант, то Qih — тензор. Он называется каноническим тензором энергии; его временная компонента Tii равна-—$>, где
<6-167>
есть плотность гамильтониана.
В случае скалярного поля выражение (6.165) для 0г/г сводится к (6.158) для Tik. Однако в общем случае тензор Oih несимметричен и отличается от действительного тензора энергии произвольным тензором tih, дивергенция которого равна нулю, так что
Tih = ^ik-\-tik = Thi, (6.168)
где
tih —tki= — (Qife—e/u); BtihIdxh = 0. (6.169)
Белинфанте [19, 20] и Розенфельд [210] вывели общую формулу для вычисления tih' .
В качестве другого примера рассмотрим электромагнитное поле в вакууме (см. гл. 5). В этом случае полевые переменные Qz совпадают с компонентами 4-потенциала Ah, а функция ? имеет вид
S= FlmFIm№ ~ (Am Aml) (Alm Aml)/4 =
— “ (Am Am—Am Аи;)/2, (6.170)
где
Aim = BAlIdxm, (6.171)
Тогда уравнения Эйлера (6.164) принимают форму максвелловских уравнений (5.16) в вакууме d (Ahi — Aih)IBxh = BFikIdxk = 0, или d (BAkIBxh)Idxi —
— d2Ai/Bxhdxh = 0. Вместе с условием Лоренца (5.22), которое следует рас-
сматривать как дополнительное условие, эти уравнения приводят к волновому уравнению CiAi ~ 0. Теперь канонический тензор энергии (6.165)^имеет вид
Qift = IiFkiAli-(FlmFm) бг?;/4. (6.172)
і
Этот тензор несимметричен и отличается от симметричного электромагнитного тензора энергии (5.106) величиной
tih— AilFhl, (6.173)
удовлетворяющей с учетом (6.171) и антисимметричности тензора Fhi уравнению
Bi IiJBxh = 0.
Глава
7
НЕЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ И ПАРАМАГНЕТИКОВ. ТЕРМОДИНАМИКА
§ 7.1. Общие свойства незамкнутых систем
Замкнутую систему 2 можно многими способами разделить на две незамкнутые системы 2(1) и 2(2) с соответствующим разбиением полного тензора энергии на две части:
