Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 67

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 198 >> Следующая


В частном случае, когда и = (м, 0, 0), т. е. когда в каждой рассматриваемой точке среда движется параллельно оси х, формулы преобразования (6.119), (6.122), (6.123) сводятся к

h = [h0 + (U2Ic2) t°xx] V2;

ff,=vs(i

txx~txx\ txy — уtxz = yt%z', tуX-(^ly) tyy = tygi tyz = tyz’’ ^ZX — (Ify) tzxy tzy—tzy’ tzz = tzx.

(6.123)

Из определения (6.108) триады пространственноподобных векторов /її0* немедленно следует, что они ортогональны времениподобному единичному вектору Uilc. Поэтому, пола-

гая

ft;4> = Uilc; а}4)а{4)=—1, (а)

получаем условия ортогональности:

Ajs)A|r)=ef) 6srr (г, s= 1,2,3,4), (б)

где Zi—индикатор:

Г +1 при S=O = I, 2, 3 8* =\ — I при 5=4 (,)

[круглая скобка после индекса, как, например, в уравнении (б), указывает на отсутствие суммирования по этому индексу, хотя он и появляется дважды]. Учитывая (6.73) и уравнения (а), (в), вторую группу уравнений (6.115) можно теперь записать в виде

StAtohP= Sik. (г)

Четыре вектора называются (ортогональной) тетрадой, и, поскольку тетраду можно построить в каждой точке 4-пространства, hIs* (х) образуют (специальное) тетрадное поле.

Теперь, полагая

(д)

получаем следующую компактную форму для механического тензора энергии (6.111):

Tik-Zs p*S) h[S* • (е)

И з (б) и (е) далее следует, что

Tik *i'> =«s р?„ *?> *i« = P0m *ls> »"
или

T1Л0 = РмМ'>- (ж)

Таким образом, hir^ является собственным вектором 71?,'соответствующим собственному значению р(г). При г = 4, уравнение (ж) совпадает с (6.68).

§ 6.6. Идеальная жидкость

В случае общей механической системы все три корня X = р(°0) алгебраического уравнения (6.106) различны. Если же они при любой деформации равны в каждой точке среды, т. е. если

Pto) = P0 (х) при о=1,2,3, (6.124)

то система называется идеальной жидкостью. В этом случае из (6.110), (6.115) и (6.73) получаем

Sik = P0 = P0 fiik + Ui UJc2), (6.125)

а из (6.90)

= Sliv- Sm UJU4 = P0 V- (6.126)

Следовательно, относительный тензор напряжений во всех инерциальных системах изображается диагональной матрицей, а упругая сила (6.52), действующая на единицу поверхности, представляет собой нормальное давление, т. е.

t(n) = pn, (6.127)

где

р = р0(х). (6.128)

Последняя формула показывает, что нормальное давление — инвариантный скаляр (195, 196]. Из (6.125), (6.126) следует, что

Ip = Sii/3 = ^/3. (6.129)

Тензор энергии идеальной жидкости в соответствии с (6.79), (6.80) и (6.120)

имеет вид

Tih = (ц° + р°/с2) Ui Uk + р° 8ik = (h0 + р°) Ui UkIc2 + р° 8ih, (6.130)

где в силу (6.128) вместо р° можно писать р. С учетом (6.3) и (4.39) получаем

следующие выражения для плотности энергии и импульса в соответствии с (6.66), (6.126) и (6.127):

h = (h0 -f р° и21 с2)/(I — U2Ic2)] g = ((h0 + P0) I (с2—и2)) u = u (h + р)/с2.

Использование Sik из'(6.125) в формулах (6.83), (6.84), (6.88) и (6.89) дает

fl ~ Sikih= Pii — (PtkU і Uk-\-pUitk Uk--- pU і Ukt ft)/c2 ==

= —Р,і — (Uifc2) dp/dx—(p/с2) dUi/dx—Ui pUktk/c2; (6.132) Ф0 — — fi Ui = -Sik Uu k = -pU„th = -p°divu0; (6.133)

di = (/*)_L = /* + (ft Uh) UiIe2 = (—p/c2) dUi/dx—P i — (Uі/c2) dp/dx. (6.134)

Следовательно, фундаментальные уравнения (6.86), (6.87) для идеальной жидкости принимают вид

(H0 Uk),k = (-p/c2) Uhth= -(р°/е2) div0u0; (6.135)

— (p.0 + р°/с2) dUt/dx= + p i +(UiIcz) dp/dx. (6.136)

В системе покоя S0 величина div°u° есть объемное расширение. Поэтому —p°div°u0 представляет собой увеличение плотности у пругой энергии в единицу

139

(6.131)
времени. Поскольку р,0 включает и массу упругой энергии, то—(р0/с2) Xdiv0U0= = —(PZc2)Uhth есть скорость образования в системе S0 плотности массы, в соответствий с (6.135). Она равна нулю только для несжимаемой жидкости, где div0u0 = 0. Уравнение (6.135) можно записать также в виде

dh01 dx + (h0р°) divou0 = 0. (6.137)

Рассмотрим теперь малую часть жидкости с собственным объемом 6V0.

Умножая (6.137) на 6У° и учитывая (4.225), получаем

d8H°ld% + р° dbV°/d% = 0, (6.138)

где бH0 = /г°6V0 — энергия покоя частицы.

До сих пор мы считали нашу систему, упругую среду, чисто механической системой. Однако в действительности все макроскопические системы являются термодинамическими системами, свойства которых зависят от немеханических параметров, например от температуры Г°. Поэтому возникает вопрос, какие термодинамические процессы’можно описывать тензором энергии со свойствами

(6.67), (6.68). Во-первых, ясно, что из рассмотрения следует исключить все процессы, в которых тепловая энергия переходит из одной части системы в другую, так как в противоположность уравнениям (6.67), поток тепла в среде приводит к возникновению в системе покоя ненулевого потока энергии. Кроме того, из первого закона термодинамики, выполняющегося в системе покоя, для изменения энергии 5H0 малой частицы среды при любом термодинамическом процессе имеем

d(8H0) = dA0 + dQ°, (6.139)

где dA0 — выполненная механическая работа, a dQ° — подведенная в течение процесса тепловая энергия. Поскольку в нашем случае тепловой поток отсутствует, dQ° = 0 и сравнение (6.139) с (6.138) показывает, что для жидкости с нормальным давлением *-•
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed