Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В частном случае, когда и = (м, 0, 0), т. е. когда в каждой рассматриваемой точке среда движется параллельно оси х, формулы преобразования (6.119), (6.122), (6.123) сводятся к
h = [h0 + (U2Ic2) t°xx] V2;
ff,=vs(i
txx~txx\ txy — уtxz = yt%z', tуX-(^ly) tyy = tygi tyz = tyz’’ ^ZX — (Ify) tzxy tzy—tzy’ tzz = tzx.
(6.123)
Из определения (6.108) триады пространственноподобных векторов /її0* немедленно следует, что они ортогональны времениподобному единичному вектору Uilc. Поэтому, пола-
гая
ft;4> = Uilc; а}4)а{4)=—1, (а)
получаем условия ортогональности:
Ajs)A|r)=ef) 6srr (г, s= 1,2,3,4), (б)
где Zi—индикатор:
Г +1 при S=O = I, 2, 3 8* =\ — I при 5=4 (,)
[круглая скобка после индекса, как, например, в уравнении (б), указывает на отсутствие суммирования по этому индексу, хотя он и появляется дважды]. Учитывая (6.73) и уравнения (а), (в), вторую группу уравнений (6.115) можно теперь записать в виде
StAtohP= Sik. (г)
Четыре вектора называются (ортогональной) тетрадой, и, поскольку тетраду можно построить в каждой точке 4-пространства, hIs* (х) образуют (специальное) тетрадное поле.
Теперь, полагая
(д)
получаем следующую компактную форму для механического тензора энергии (6.111):
Tik-Zs p*S) h[S* • (е)
И з (б) и (е) далее следует, что
Tik *i'> =«s р?„ *?> *i« = P0m *ls> »"
или
T1Л0 = РмМ'>- (ж)
Таким образом, hir^ является собственным вектором 71?,'соответствующим собственному значению р(г). При г = 4, уравнение (ж) совпадает с (6.68).
§ 6.6. Идеальная жидкость
В случае общей механической системы все три корня X = р(°0) алгебраического уравнения (6.106) различны. Если же они при любой деформации равны в каждой точке среды, т. е. если
Pto) = P0 (х) при о=1,2,3, (6.124)
то система называется идеальной жидкостью. В этом случае из (6.110), (6.115) и (6.73) получаем
Sik = P0 = P0 fiik + Ui UJc2), (6.125)
а из (6.90)
= Sliv- Sm UJU4 = P0 V- (6.126)
Следовательно, относительный тензор напряжений во всех инерциальных системах изображается диагональной матрицей, а упругая сила (6.52), действующая на единицу поверхности, представляет собой нормальное давление, т. е.
t(n) = pn, (6.127)
где
р = р0(х). (6.128)
Последняя формула показывает, что нормальное давление — инвариантный скаляр (195, 196]. Из (6.125), (6.126) следует, что
Ip = Sii/3 = ^/3. (6.129)
Тензор энергии идеальной жидкости в соответствии с (6.79), (6.80) и (6.120)
имеет вид
Tih = (ц° + р°/с2) Ui Uk + р° 8ik = (h0 + р°) Ui UkIc2 + р° 8ih, (6.130)
где в силу (6.128) вместо р° можно писать р. С учетом (6.3) и (4.39) получаем
следующие выражения для плотности энергии и импульса в соответствии с (6.66), (6.126) и (6.127):
h = (h0 -f р° и21 с2)/(I — U2Ic2)] g = ((h0 + P0) I (с2—и2)) u = u (h + р)/с2.
Использование Sik из'(6.125) в формулах (6.83), (6.84), (6.88) и (6.89) дает
fl ~ Sikih= Pii — (PtkU і Uk-\-pUitk Uk--- pU і Ukt ft)/c2 ==
= —Р,і — (Uifc2) dp/dx—(p/с2) dUi/dx—Ui pUktk/c2; (6.132) Ф0 — — fi Ui = -Sik Uu k = -pU„th = -p°divu0; (6.133)
di = (/*)_L = /* + (ft Uh) UiIe2 = (—p/c2) dUi/dx—P i — (Uі/c2) dp/dx. (6.134)
Следовательно, фундаментальные уравнения (6.86), (6.87) для идеальной жидкости принимают вид
(H0 Uk),k = (-p/c2) Uhth= -(р°/е2) div0u0; (6.135)
— (p.0 + р°/с2) dUt/dx= + p i +(UiIcz) dp/dx. (6.136)
В системе покоя S0 величина div°u° есть объемное расширение. Поэтому —p°div°u0 представляет собой увеличение плотности у пругой энергии в единицу
139
(6.131)
времени. Поскольку р,0 включает и массу упругой энергии, то—(р0/с2) Xdiv0U0= = —(PZc2)Uhth есть скорость образования в системе S0 плотности массы, в соответствий с (6.135). Она равна нулю только для несжимаемой жидкости, где div0u0 = 0. Уравнение (6.135) можно записать также в виде
dh01 dx + (h0р°) divou0 = 0. (6.137)
Рассмотрим теперь малую часть жидкости с собственным объемом 6V0.
Умножая (6.137) на 6У° и учитывая (4.225), получаем
d8H°ld% + р° dbV°/d% = 0, (6.138)
где бH0 = /г°6V0 — энергия покоя частицы.
До сих пор мы считали нашу систему, упругую среду, чисто механической системой. Однако в действительности все макроскопические системы являются термодинамическими системами, свойства которых зависят от немеханических параметров, например от температуры Г°. Поэтому возникает вопрос, какие термодинамические процессы’можно описывать тензором энергии со свойствами
(6.67), (6.68). Во-первых, ясно, что из рассмотрения следует исключить все процессы, в которых тепловая энергия переходит из одной части системы в другую, так как в противоположность уравнениям (6.67), поток тепла в среде приводит к возникновению в системе покоя ненулевого потока энергии. Кроме того, из первого закона термодинамики, выполняющегося в системе покоя, для изменения энергии 5H0 малой частицы среды при любом термодинамическом процессе имеем
d(8H0) = dA0 + dQ°, (6.139)
где dA0 — выполненная механическая работа, a dQ° — подведенная в течение процесса тепловая энергия. Поскольку в нашем случае тепловой поток отсутствует, dQ° = 0 и сравнение (6.139) с (6.138) показывает, что для жидкости с нормальным давлением *-•