Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dt (n) = t (n) df (6.52)
— сила, действующая на сторону, к которой направлена нормаль. Тогда, поскольку действие и противодействие равны, сила t(—n)df, действующая на другую сторону элемента, должна быть равна —t (n)df.
Компоненты (п) силы t (п) являются линейными функциями компонент /W1 Т. е.
(П) ~ ^IAV (6.53)
Поскольку tp (п) И ftv — компоненты 3-векторов, величины преобразуются при вращениях декартовых осей как компоненты 3-тензора. Тензор упругих напряжений иногда называется относительным тензором напряжений, в противоположность пространственной части Tliv полного тензора энергии Tih, которая называется абсолютным тензором напряжений [134, 135].
Полная упругая сила F, действующая на материю, находящуюся внутри замкнутой поверхности /, равна j t (n)df = J dt (п), где п — направленная
і f
внутрь нормаль к элементу df.
Компоненты Fiі с учетом (6.53) и с использованием теоремы Гаусса (4.196) равны
F1H = § Iiiv nvdf= — \ (StfivIdxv) dV, (6.54)
I V
где интегрирование происходит по внутренней стороне замкнутой поверхности /. Теперь можно определить плотность f упругой силы так, чтобы выполнялось условие
F11 =IudV. (6.55)
V
Сравнение (6.54) и (6.55) показывает, что
/и" BttivJdx4. (6.56)
5*
131
Теперь движение инфинитезимальной частицы материи с объемом 6V описывается уравнениями
d (gv.§V)ldt = Tm W = —^tvyIdxv, (6.57)
где g — плотность импульса, a dldt — субстанциональная производная по времени. С помощью (4.205) и (4.208) получаем
J-(g SV) = — 61/ = —«Л BVg,*8V — =
dt vsu ' dt ^ dt \dt dxv j дхч
= fdAB+ d “v) \ (6 58)
\ dt dxv J
где Uv — компоненты вектора скорости и среды в данной точке и в данный момент времени. Из (6.57) и (6.58) находим, что
BgJBt + В (gu Uv + tfxV)! Bxv = 0. (6.59)
Закон сохранения импульса выражается также уравнением (6.4). Поэтому
имеем следующее соотношение между абсолютным и относительным тензорами напряжений:
7\iv = ~Ь Ям. ^v* (6.60)
Чтобы найти явное выражение для плотности импульса, воспользуемся соотношением (6.8) между g и потоком энергии S:
g = Sfc2. (6.61)
Полная работа упругих сил, действующих на материю внутри замкнутой поверхности / в единицу времени,
A = (п) u df = tfxV nv Ufi df = — ^ (В (Иц, tfi^/Bx^) dVf
f f и
где интегрирование в последнем выражении происходит по внутреннему объему V поверхности /. Следовательно, работа, произведенная над инфинитези-мальной частицей материи, заключенной в объеме б]/, равна
б А = —(В (ии t ^v) J Bxv) BV. (6.62)
Она вызывает увеличение энергии внутри 6V, т. еЛ
d (HbV)Idt = б А, (6.63)
где H — полная плотность энергии, включая и упругую энергию. Левую часть в (6.63) можно преобразовать к виду d (hbV)/dt = (BhfBt -f uvBhfBxv)bV -f
+ HbVBuvIBxv = {dhfdt + B (Huv)IBxv) bV. Тогда с учетом (6.62) получаем
уравнение
BhfBt В (Huv jTUll Iliv) I Bxv = 0. (6.64)
Сравнивая (6.5) и (6.64), находим, что
S = Ли+ (u-t), (6.65)
где (u-t) — пространственный вектор с компонентами (u-t)v = UllIiiv. Таким образом, кроме конвективного потока Ни существует дополнительный перенос энергии, обусловленный работой упругих сил. Скорость переноса энергии (6.9) равна u* = u + (u-t)fh Ф и. Из (6.61) и (6.11) теперь получаем формулу для плотности полного импульса
g = Sfc2 = ^tu + (u*t)/c2, (6.66)
1 32
где |л = h!c2 — плотность полной массы, включая и массу упругой энергии. Из-за наличия величины (u-t) в (6.66) направление вектора плотности импульса в общем случае уже не совпадает с направлением движения материи. Поэтому ^ujl Ф Поскольку для выполнения закона сохранения углового момента требуется, чтобы Tilv = Tvtl (CM. § 6.2), из (6.60) и (6.66) следует, что Z1liv — “ Ц = —?n«v + gv«n = {—(u-t)ц«у + (u-t)vMjл}/с2 ф 0, т. е. относительный тензор напряжений несимметричен. Только в системе покоя материи S0 в рассматриваемой точке, где U0 = 0, из (6.60), (6.65) и (6.66) имеем
где Ui — 4-скорость материи. Справедливость этого ковариантного уравнения следует из (6.67), если (6.68) записать в системе покоя, где U0i = (0, 0, 0, і с). Соотношение (6.68) является характеристикой чисто механического тензора энергии. Оно содержит уравнение (4.252) как частный случай.
4-Импульс инфинитезимальной частицы материи объемом bV = SVro (1 —
— и2/с2)1/2 равен
В противоположность 4-импульсу некогерентной материи 8Gi упругой среды уже не будет 4-вектором. Полагая
уравнения (6.57) и (6.63) можно записать в виде одного 4-компонентного уравнения
Упругие силы — чисто поверхностные силы вида (6.52). Как мы увидим далее, сила dt (п) — истинная механическая сила, преобразующаяся в соответствии с (3.40). С другой стороны, (6.71) и (6.7Ґ) показывают, что действие упругих сил можно также описать плотностью объемной 4-силы /,-. ОднакоT не является плотностью истинной механической силы, подобной той, что рассматривалась в §4.18. ft не равна ifu/c, а Д даже не 4-вектор, в противоположность плотности обобщенной 4-силы, рассмотренной в §4.18, 4.19.
