Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Из Tih можно образовать скаляр
где h0 (х) — инвариантная плотность энергии покоя, которая считается скалярной функцией координат (д:г) в S. Кроме того, с помощью тензора
(6.67)
(6.68)
6Gt = (g*6V, \h6Vfc)^gi8V.
(6.69)
(6.70)
CtbGiIdt = fi 8V,
(6.71)
или
(6.71')
Ut Tih UhIci = Uf T0ik Ullc2 = -TU = h° (.x),
(6.72)
Ajfc — + Ui UkIс2,
(6.73)
удовлетворяющего соотношению
(6.74)
(6.75)
133
ортогональный к Ui:
UtSik = SihUk = O. (6.76)
Подставляя (6.73) в (6.75) и учитывая (6.68), (6.72), получаем
Sik = Tik-WUiUhIci. (6.77)
В системе покоя 5°, где Ui = ісбі4, a T0ik определяется выражением (6.67), компоненты Sik следующие:
S°v = T«V = f“v; SU = Sb = O. (6.78)
Выражение (6.77) можно представить также в виде
Fih = QikjT Sih, (6.79)
где
0 K = VUiUkIci = VPUlUk (6.80)
есть тензор кинетической энергии (4,234), а
(Li0 - Wiet- (6.81)
— плотность массы в системе покоя, включающая и массу, соответствующую упругой энергии. Соотношение (6.79) показывает, что механический тензор энергии состоит из двух частей: кинетического тензора Qik и «потенциальной» части Sik. Как мы увидим далее, Sik полностью определяется относительным тензором напряжений Zixv. Поэтому Sik назовем 4-тензором напряжений. Уравнения (6.1) можно теперь представить в форме
MihIdxk = fl (6.82)
где
п = -SSihIdxh. (6.83)
Следовательно, действие упругих сил описывается 4-вектором f*, определяемым формулой (6.83) и являющимся плотностью обобщенной 4-силы, так как
U1 ft = - д + SiklP = Sik Uii h Ф 0. (6.84)
OXk OXh
Здесь мы использовали (6.76) и ввели обозначение
Aith^dA(X)JdXh (6.85)
для частной производной по координатам от функции А (я). По аналогии с (4.230), (4.232) и (4.233) фундаментальные уравнения (6.82) или (6.1) эквивалентны уравнениям
WU1Xh = ^Ic*= -UtfiIe*= -SikUiikIe2; (6.86)
^dUiIdx = Cii-, (6.87)
di = (f*)s_ = f! + (ftUk)Ui!e*. (6.88)
Поскольку обе части уравнений (6.87) при умножении на Ui обращаются в нуль, они являются системой только трех независимых уравнений. Следовательно, вместе с (6.86) мы имеем четыре независимых уравнения, эквивалентных четырем уравнениям (6.82) или (6.1).
Вследствие того, что плотность собственной массы включает и плотность массы упругой энергии, собственная масса [л°6У0 не сохраняется. В соответствии с (6.86) скорость изменения упругой энергии на единицу объема в системе S0 равна <р°, которую с помощью (6.78) можно записать в виде
134
ф° — SikUi' k — Sik Ut, к —uM,. V-
(6.89)
Теперь в каждой системе S определим величину
Uk = Sih-SiiUkIUi, (6.90)
которая согласно (6.79) и (6.80) равна
Uk-Tik-TuUJUi. (6.91)
Очевидно, что ttk — не 4-тензор. Ее компонента tu в каждой системе координат тождественно равна нулю, т. е.
tH = 0. (6.92)
Кроме того, из (6.90) и (6.76) следует, что Uitih = 0 или
Uh=-U^tllkIUi. (6.93)
Пространственные компоненты tik равны компонентам относительного тензора напряжений t, что можно показать, используя (6.91), (6.3) и (6.60), а именно:
TjjlV Tц4 UJUi = TJiV gfjj. U\ = tfiy. (6.94)
Из (6.92)—(6.94) следует, что компоненты tih полностью определяются относительным тензором напряжений t и скоростью и. Как мы уже упоминали раньше, это верно и для компонент 4-тензора напряжений Sik. Кроме того, из (6.90) и (6.76) имеем tihUk = SiiC2IUi, Sii = UJikUJc1, поэтому
Sih = UkjTSii UJUi = tik-\-tH Ui UJc2. (6.95)
Используя (6.92) и (6.93), записываем упругую 4-силу (6.70) в виде
Ti = —dt[v/dxv = -QtiJdxk, (6.96)
откуда с помощью (6.95) и (6.83) получаем следующее соотношение между и плотностью силы /*:
ft = -BSiJdxk = Ti-д (IilUlUJf)Idxk. (6.97)
Теперь рассмотрим конечное количество материи в момент времени t,
находящееся внутри конечного объема V (t), ограниченного замкнутой поверхностью / (t). Поскольку среда движется, то / и V изменяются со временем. Пусть
' mrGi (0 = (G, і Ніс) (6.98)
есть 4-импульс определенной таким образом системы. Тогда производная по времени от Gi получается интегрированием уравнений (6.71) при постоянном t. Используя (6.96) и теорему Гаусса, получаем
dGt
dt
= J j tHlUtlClf= J tiVLdfr, (6.99)
V (О м. MO MO
где п — внутренняя нормаль к поверхностному элемену df и dft, = nudf. Из.
(6.52), (6.53) и (6.93) имеем
U4 dfv = tiv nv df = {tu (n) df, (i/с) Ull (n) df] =
= |rft(n), (i/с) Udt(Ii)), (6.100)
где dt(n)— упругая сила, с которой материя вне f(t) действует через поверхностный элемент на материю внутри f. Четыре уравнения (6.99) представляют :обой законы сохранения для импульса G и энергии H — cGjі.
Как мы уже отмечали, поверхностная сила dt (п) — истинная механиче-:кая сила. Наиболее ясно это можно показать следующим образом. Поскольку элемент df поверхности f(t) движется со скоростью и среды, величины
dFi = Iydfll, і у [Ull dfv)!с] ;1
(6.101)
Y = (I — U2Ic2)- 1/2, 1 V
135
определяемые уравнением (з) (стр. 91), преобразуются как компоненты 4-вектора.