Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 65

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 198 >> Следующая


Из Tih можно образовать скаляр

где h0 (х) — инвариантная плотность энергии покоя, которая считается скалярной функцией координат (д:г) в S. Кроме того, с помощью тензора

(6.67)

(6.68)

6Gt = (g*6V, \h6Vfc)^gi8V.

(6.69)

(6.70)

CtbGiIdt = fi 8V,

(6.71)

или

(6.71')

Ut Tih UhIci = Uf T0ik Ullc2 = -TU = h° (.x),

(6.72)

Ajfc — + Ui UkIс2,

(6.73)

удовлетворяющего соотношению

(6.74)

(6.75)

133
ортогональный к Ui:

UtSik = SihUk = O. (6.76)

Подставляя (6.73) в (6.75) и учитывая (6.68), (6.72), получаем

Sik = Tik-WUiUhIci. (6.77)

В системе покоя 5°, где Ui = ісбі4, a T0ik определяется выражением (6.67), компоненты Sik следующие:

S°v = T«V = f“v; SU = Sb = O. (6.78)

Выражение (6.77) можно представить также в виде

Fih = QikjT Sih, (6.79)

где

0 K = VUiUkIci = VPUlUk (6.80)

есть тензор кинетической энергии (4,234), а

(Li0 - Wiet- (6.81)

— плотность массы в системе покоя, включающая и массу, соответствующую упругой энергии. Соотношение (6.79) показывает, что механический тензор энергии состоит из двух частей: кинетического тензора Qik и «потенциальной» части Sik. Как мы увидим далее, Sik полностью определяется относительным тензором напряжений Zixv. Поэтому Sik назовем 4-тензором напряжений. Уравнения (6.1) можно теперь представить в форме

MihIdxk = fl (6.82)

где

п = -SSihIdxh. (6.83)

Следовательно, действие упругих сил описывается 4-вектором f*, определяемым формулой (6.83) и являющимся плотностью обобщенной 4-силы, так как

U1 ft = - д + SiklP = Sik Uii h Ф 0. (6.84)

OXk OXh

Здесь мы использовали (6.76) и ввели обозначение

Aith^dA(X)JdXh (6.85)

для частной производной по координатам от функции А (я). По аналогии с (4.230), (4.232) и (4.233) фундаментальные уравнения (6.82) или (6.1) эквивалентны уравнениям

WU1Xh = ^Ic*= -UtfiIe*= -SikUiikIe2; (6.86)

^dUiIdx = Cii-, (6.87)

di = (f*)s_ = f! + (ftUk)Ui!e*. (6.88)

Поскольку обе части уравнений (6.87) при умножении на Ui обращаются в нуль, они являются системой только трех независимых уравнений. Следовательно, вместе с (6.86) мы имеем четыре независимых уравнения, эквивалентных четырем уравнениям (6.82) или (6.1).

Вследствие того, что плотность собственной массы включает и плотность массы упругой энергии, собственная масса [л°6У0 не сохраняется. В соответствии с (6.86) скорость изменения упругой энергии на единицу объема в системе S0 равна <р°, которую с помощью (6.78) можно записать в виде

134

ф° — SikUi' k — Sik Ut, к —uM,. V-

(6.89)
Теперь в каждой системе S определим величину

Uk = Sih-SiiUkIUi, (6.90)

которая согласно (6.79) и (6.80) равна

Uk-Tik-TuUJUi. (6.91)

Очевидно, что ttk — не 4-тензор. Ее компонента tu в каждой системе координат тождественно равна нулю, т. е.

tH = 0. (6.92)

Кроме того, из (6.90) и (6.76) следует, что Uitih = 0 или

Uh=-U^tllkIUi. (6.93)

Пространственные компоненты tik равны компонентам относительного тензора напряжений t, что можно показать, используя (6.91), (6.3) и (6.60), а именно:

TjjlV Tц4 UJUi = TJiV gfjj. U\ = tfiy. (6.94)

Из (6.92)—(6.94) следует, что компоненты tih полностью определяются относительным тензором напряжений t и скоростью и. Как мы уже упоминали раньше, это верно и для компонент 4-тензора напряжений Sik. Кроме того, из (6.90) и (6.76) имеем tihUk = SiiC2IUi, Sii = UJikUJc1, поэтому

Sih = UkjTSii UJUi = tik-\-tH Ui UJc2. (6.95)

Используя (6.92) и (6.93), записываем упругую 4-силу (6.70) в виде

Ti = —dt[v/dxv = -QtiJdxk, (6.96)

откуда с помощью (6.95) и (6.83) получаем следующее соотношение между и плотностью силы /*:

ft = -BSiJdxk = Ti-д (IilUlUJf)Idxk. (6.97)

Теперь рассмотрим конечное количество материи в момент времени t,

находящееся внутри конечного объема V (t), ограниченного замкнутой поверхностью / (t). Поскольку среда движется, то / и V изменяются со временем. Пусть

' mrGi (0 = (G, і Ніс) (6.98)

есть 4-импульс определенной таким образом системы. Тогда производная по времени от Gi получается интегрированием уравнений (6.71) при постоянном t. Используя (6.96) и теорему Гаусса, получаем

dGt

dt

= J j tHlUtlClf= J tiVLdfr, (6.99)

V (О м. MO MO

где п — внутренняя нормаль к поверхностному элемену df и dft, = nudf. Из.

(6.52), (6.53) и (6.93) имеем

U4 dfv = tiv nv df = {tu (n) df, (i/с) Ull (n) df] =

= |rft(n), (i/с) Udt(Ii)), (6.100)

где dt(n)— упругая сила, с которой материя вне f(t) действует через поверхностный элемент на материю внутри f. Четыре уравнения (6.99) представляют :обой законы сохранения для импульса G и энергии H — cGjі.

Как мы уже отмечали, поверхностная сила dt (п) — истинная механиче-:кая сила. Наиболее ясно это можно показать следующим образом. Поскольку элемент df поверхности f(t) движется со скоростью и среды, величины

dFi = Iydfll, і у [Ull dfv)!с] ;1

(6.101)

Y = (I — U2Ic2)- 1/2, 1 V

135
определяемые уравнением (з) (стр. 91), преобразуются как компоненты 4-вектора.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed