Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Er1 = Ei Eri = у (E2-VH3/с); Er3 = у (E3 + vHJc), J
где у = (I — V1Ic1)-11'2. Соответствующие формулы обратных преобразований получаются переобозначением штрихованных и нештрихованных величин и заменой V на —V. Для V = (v, 0, 0) эти обратные преобразования можно записать в векторной форме:
E = 7E' + (v/u2)(v.E')(1— y) — (у/с) (vx H'); . g ,
H = уН' + (у/и2) (v«H')(l—y) + (y/c) (v X E'). ‘ '
В такой форме эти уравнения справедливы для любых преобразований Лоренца без пространственных вращений.
85
§ 4.8. Угловой момент и момент силы в четырехмерной форме
Пусть Xi = (х, іd) — пространственно-временные координаты события на мировой линии материальной частицы, a {pt) = {р, і (Е/с)} — ее 4-импульс.
В соответствии с (4.79) из этих двух 4-векторов можно образовать антисимметрически й тензор
Mih = XiPh-XkPi. (4.85)
Пространственная часть этого тензора является антисимметрическим пространственным тензором, тензором углового момента Miiv, компоненты которого связаны с вектором углового момента
М = хХр (4.86)
уравнениями
M = (МХ, My, Mz) = (Мы, M31, M12). (4.87)
Тем же способом из Xi и 4-силы Минковского (Fi) можно образовать тензор
Dik = XiFh-XhFi. (4.88)
Пространственная часть этого тензора соответствует моменту силы Минковского (3.41) относительно начала координат.
Используя (4.38), с помощью основных уравнений механики (4.55) получим
dMll/dx = Utph + xiFh—Uh Pi-XllFi,
или, учитывая (4.55) и (4.88),
dMikldx = Dik. (4.89)
Пространственная часть этого уравнения представляет собой теорему об
изменении углового момента
dmidt = (xxF). (4.89')
Символ Кронекера (4.12) представляет собой тензор второго ранга с особенно простыми свойствами. Рассмотрим тензор, компоненты которого в системе S равны 6ik. По формулам (4.70) и (4.14) его компоненты в системе S' примут вид
6/а = «гг v-km ^im = aH aM = ^ih. (4.90)
Следовательно, этот тензор имеет одинаковые компоненты в любой системе координат; это единственный тензор, компоненты которого не изменяются при преобразованиях координат.
§ 4.9. Тензоры произвольного ранга
По аналогии с (4.70) тензор третьего ранга в (3 4- 1)-пространстве определим как величину с 43 компонентами tm, преобразующимися по формулам:
tikl — aim акп r^lV tmnp] tiki = tmnp aTnit^nkaPl' (4-91)
Таким образом, каждый индекс в отдельности преобразуется в соответствии с законом преобразования 4-вектора. 4-Вектор можно рассматривать как тензор первого ранга. В этом смысле инвариант является тензором нулевого ранга. Тогда тензором ранга п назовем величину tikl ... с п независимыми индексами, каждый из которых в отдельности преобразуется в соответствии
с формулой (4.24) для 4-вектора. Если в тензоре ранга п приравнять два ин-
декса, например к и і, то после суммирования по этим индексам получим тензор ранга (п — 2). Это является прямым следствием формул преобразования для тензоров и условий ортогональности (4.11), (4.14). Данная операция называется сверткой. Уравнения (4.72), с помощью которых из тензора второго ранга образуется тензор нулевого ранга, как раз представляют собой пример такой свертки.
86
При сложении (или вычитании) соответствующих компонент двух тензоров ранга п получили новый тензор того же ранга, но операция сложения двух тензоров различных рангов уже не имеет ковариантного смысла. Однако всегда можно образовать прямое произведение двух тензоров ранга пите помощью всех возможных произведений их компонент и получить в результате тензор ранга (т + п). Формула (4.78) представляет собой частный случай этой операции, поскольку тензор tih — афь ранга 2 является прямым произведением двух тензоров первого ранга щ и bh. Последующей сверткой тензора щЬк получим тензор нулевого ранга, или инвариант (4.27).
Уравнение (4.76) является частным случаем комбинации обеих операций: прямого умножения и свертки. Сначала прямым умножением тензоров tik и U1 образуем тензор 3-го ранга и затем сверткой получаем тензор первого
ранга bt = tikcik¦ Аналогично уравнение (4.73) можно рассматривать как результат прямого умножения tik на самого себя и двух последовательных сверток.
§ 4.10. Нсевдотепзоры
В трехмерном векторном исчислении наряду с обычным (полярным) вектором с законом преобразования
і (4.92)
рассматривается так называемый аксиальный вектор, преобразующийся по закону
a^ = aawvav> (4.93)
где ot = I CXptv I—определитель матрицы преобразования. При собственных вращениях а = 1 и аксиальный вектор преобразуется как полярный. Однако при отражениях, когда одна или три оси меняют знак, а = —1; поэтому при отражении относительно начала координат, когда
Xli=-Xllt (4.94)
компоненты аксиального вектора не меняются, а компоненты полярного вектора меняют знак. Примером аксиального вектора является векторное произведение двух полярных векторов а и Ь:
C = (^1) с2, C3) = (а2^!3^2» ^з> (4.95)
При отражении а'^ = —Qflt bI1= —поэтому Сд = Cjx. Другим примером аксиального вектора является вектор напряженности магнитного поля Н. Естественно обобщение аксиальных векторов на тензоры высшего ранга в четырехмерном пространстве, которые называются псевдотензорами. Эти величины преобразуются как тензоры, но, кроме того, еще умножаются на детерминант преобразования a = т. е.
