Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
I
0 10 0 0 0 10 0 0 0 1
1,
(4.15')
т. е. а = ±1.
Детерминант матрицы трехмерных поворотов должен равняться плюс единице, поскольку любой поворот осуществляется непрерывным образом, а детерминант матрицы, соответствующей тождественному преобразованию х\ — = Xi, равен единице. Однако для пространственных отражений, когда направления пространственных осей меняют знак, a = —1.
73
Матрица aik специальных преобразований Лоренца (2.24) имеет вид
«і* =
Y о о ivy/с
О 1 о о
О О 1 о
— \vy с О о T
(4.16)
где Y = (I — V1Ic-)-1/2. Легко проверить, что (4.16) удовлетворяет условиям ортогональности (4.11) и (4.14) и что а = +1.
Специальные преобразования Лоренца можно также записать в следующей форме:
х[ = X1 cos ф + Xi sin X1 = —X1 sin г1з-!-х4 cos
X3 Xg,
(4.17)
(4.18)
х^ — х2,
где cos ^ = V; sin -ф = і vy/c\ tg tj> = і vfc.
Формально уравнения (4.15) описывают вращение в плоскости (XlXi) с чисто мнимым «углом поворота»
§ 4.2. Лоренцево сокращение и замедление хода движущихся часов в четырехмерном представлении
Любое событие, происшедшее в некоторой точке оси X системы S, изображается точкой в плоскости (XiXi) (3 + 1)-пространства, Рис. 12, где временные оси Xi, Xi и угол г|) изображены, как если бы они были действительными, иллю-трирует и лоренцево сокращение и замедление хода движущихся часов. Прямые L1 и L2, параллельные оси Xi, изображают мировые линии концов измерительной линейки, покоящейся на оси х', так что ее длина покоя I0 = х'дг — хдг Длина I измерительной линейки, измеренная в системе 5, равна разности х-координат двух событий A2 и А*, являющихся одновременными (т. е. имеющими одинаковые значения Xi) в системе 5, т. е.
Рис. 12.
I = X А, — X
Al'
Поскольку здесь справедливы все формальные соотношения евклидовой геометрии, то, рассматривая треугольник АгА^А* и используя (4.18), получаем формулу лоренцева сокращения длины
/ = /0seci|> = /0(l— V2Icyi2.
(4.19)
Аналогично мировые линии концов измерительной] линейки, покоящейся в системе S, изображаются прямыми M1 и M2, параллельными оси Xi. Рассматривая треугольник B1B2B^, снова приходим к формуле (4.19).
Тем же способом можно получить геометрическую иллюстрацию эффекта запаздывания часов. Рассмотрим часы, покоящиеся в системе 5'; их мировая линия изображается прямой N, параллельной оси X1i-, длина линии определяется в единицах собственного времени т часов. Пусть отрезок C1C2 линии N определяет некоторое значение собственного времени т. Соответствующее ему значение времени t в системе 5 определяется проекцией отрезка C1C2 на ось Xi. Рассматривая треугольник C1C2C3, получаем
t = т cos т|з = ту, (4.20)
что соответствует формуле (2.36) для запаздывания часов.
74
С Другой стороны, если часы покоятся в системе S, то рассмотрение треугольника D1D2D3 снова дает формулу (4.20), связывающую время t' системы Sr с собственным временем часов.
В данном представлении эффекты лоренцева сокращения и запаздывания часов проявляются в виде проективного укорочения измерительных линеек и временных интервалов. Однако следует подчеркнуть, что такое представление чисто формально; это следует хотя бы из того факта, что «угол проектирования» ф является мнимой величиной. В общем, не следует преувеличивать эпистемологического значения четырехмерного представления теории относительности. Несмотря на формальную аналогию в описании пространства и времени в теории относительности, существует фундаментальное физическое различие между пространственными и временными переменными. Оно непосредственно связано с разницей между измерительными инструментами, измерительными линейками и часами, необходимыми для физического определения этих переменных. Поэтому невозможно с помощью любого допустимого «вращения» (4.3), удовлетворяющего условию (4.5), перевести временную ось в пространственную. Физический смысл имеют лишь те вращения, которые оставляют временную ось Xi внутри области (4.7а), т. е. внутри светового конуса (4.6).
§ 4.3. Ковариантность законов природы в четырехмерной формулировке
Несмотря на свой чисто формальный характер, четырехмерное представление сыграло большую роль в развитии теории относительности, поскольку оно позволяет выразить ковариантность законов природы при преобразованиях Лоренца как некоторые соотношения между физическими величинами.
Пусть А, В, ... — последовательность физических величин, измеренных в определенной инерциальной системе S. Среди них могут быть и так называемые полевые переменные, являющиеся функциями пространственно-временных координат (хг) системы S. Некоторый динамический закон природы всегда можно выразить одним или несколькими уравнениями вида
F (А, В, ...; OAIdxi; OBIdxi) = 0, (4.21)
где F — функция величии А, В, ... и, возможно, их производных по координа-
там (Xi) любого порядка.
В другой инерциальной системе S' с помощью физических измерений находим, в общем случае, уже другие значения А', В', ... вышеупомянутых физических величин, и если А — полевая переменная, являющаяся функцией от (х(), то А' будет уже другой функцией от пространственно-временных координат Xit т. е. не будет форм-инвариантной.
