Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
det (x)ldx = e'k daki (x)ldx = e'kakl [U1 Ui-Ui U1)/с2 =
= HelUl) Ui-Ul (BlUl)Vc*,
T. e.
Jei (x)jdx=[elUi) UiIe2. (4.147)
Если S’ (x) совпадает с 5 при т = 0, то et ~ е¦ при т = 0 и скорость частицы в этот момент равна нулю. В последующее время, в общем случаев* Ф e’L, и даже если скорость частицы снова становится равной нулю, то всегда
еі = (е, 0)фе1 = (е.\ 0).
Это значит, что компоненты единичного вектора различны в системах S и S' в соответствии с тем фактом, что вектор совершает прецессию Томаса относительно S (см. § 2.8).
94
g 4.15. Последовательные системы покоя при произвольном прямолинейном и равномерном вращательном движениях частицы
Пусть частица движется в направлении оси хъ тогда /2 = /3 = 0. т. е.
Ui = {f\, 0, 0, Q; Ui=I fl 0, 0, /I). (4.148)
Предположим, также, что скорость частицы равна нулю при т = 0 и что в этот
момент S' (т) совпадает с S. Поэтому, учитывая, что UiUi — U\ + U\ = —с2,
4-скорость Ui можно записать в виде
Ui = (с sh б (т), 0, 0, icchO(r)), (4.149)
где 0 (т) — произвольная функция т, такая, что 0 = 0 при т = 0. Отсюда
/г (т) = ^c ^ sh8 dr, 0, 0, і с ^ch (4.150)
Если еі^ (т) — единичные направляющие векторы пространственных осей последовательных систем покоя 5' (т), то
^i(O)=An при т = 0. (4.151)
Каждый из этих векторов удовлетворяет уравнениям (4.147), поэтому
dei^ldx =Ie^Ul) UkIc2. (4.152)
Учитывая (4.148), видим, что
е^ = бм; 43)=А3; е^ = е^ = 0 (4.153)
есть решение (4.152). Чтобы найти компоненты е^1’ и е*1’, умножим (4.152) на
Uh и f*1*, в результате чего получим следующие интегралы:
eiuUk = 0, е^е^=\.
Следовательно,
е\г' U1 +ер Ui = O; е?> = -el1» UjUi;]
<?і1>г + е41>2 = і; e<i>2 + (і + u\!U\) = -ci1'2 C2IUt = I,
T. e.
e\l) = UJiC-,
Є41» = —Ui U1IicU4= і Uje.
Поэтому из (4.127) и (4.127') получим
'UJic 0 0 і Ujc
_ ° 1 0 о
= l 0 0 10
чU1Iic 0 0 UJics
что соответствует специальным преобразованиям Лоренца [см. (4.116)). С помощью (4.157), (4.149) и (4.150) преобразования (4.143) можно записать в виде
(4.154)
(4.155)
(4.156)
(4.157)
Xi = с \ sh 6dr-f-х\ ch 9 (т) + х* -~h Є ¦¦¦¦ і 8 1
т
Xi = іс ^ ch Qdx + х[і sh 0 (т) + хї ch 0 (т).
(4.158)
В частном случае гиперболического движения частицы из (3.46) имеем
dx = (I — u2/c2)1/2 dt = dt/-/ I + (gt/cf
T. e.
т = (clg) sh-1 (gtlc); і = (Clg) sh (gxl с).
Отсюда с учетом (3.47) получим
fi W = {с2Sg) (У l+g2l2!cz—l) = (c2lg) (ch gx/c— 1); ]
Z12 = Z3 = 0; /4 (т) = і (?2/g) sh gxlс; J
= /і = (с shgr/c, 0, 0, і с ch gxl с); 1 Ui=^(gch gx/c, 0, 0, і g sh gx/c). I
Сравнивая с (4.149), видим, что в этом частном случае
Є (т) = gx/c, а преобразования (4.158) приводятся к виду
a'i = (c2lg) (ch gxl с—1) + -^1 ch gx Ic + Xir (sh gxlc)l\\
Х% X2, X3 X3,
X4 = і (C2Ig) shgT/c + xi і sh gxl с + Xi ch gx/c.
Используя коэффициенты (4.157) для компонент Vri вектора 4-ускорения частицы в последовательных системах покоя S' (г) и учитывая (4.161), получаем
(4.159)
(4.160)
(4.161)
(4.162)
(4.163)
Ot=BihVk= (g> 0. °> °)>
(4.164)
откуда следует, что ускорение частицы в последовательных системах покоя постоянно и равно g [ср. с (4.42)].
Теперь кратко рассмотрим решение уравнений (4.139) в случае движения частицы в плоскости (X1, х2) *по окружности радиуса а с постоянной угловой скооостыо (О. В этом случае имеем
fi = (a cos оуут, asincoyt, 0, icyr),
(4.165)
где у = (I — U2Ic1)-'/2 (и — асо — постоянная скорость движения частицы по окружности). Из (4.165) следует
Ui = (—sin (соут), аауcos (мус), 0, icy);
Ui = (—aory2 cos (соут), —асо2у2 sin (соут), О, 0).
(4.166)
Ям, :
Легко проверить, что решение уравнений (4.139) тогда имеет следующий вид:
cos a cos р + у sin а sin (3, sin а cos (3—у cos а sin (5, 0, —i(wy/c)sinp cos a sin (3 — у sin а cos (3, sin а sin р+у cos а cos (3, 0, і (uyjc) cos p 0, O1 1, О
і (иу/с) sin а, —і (иу/с) cos а, 0, у
(4.167)
где а = соут; (3 = уа = соу2т; и = а(.о.
Затем из (4.142) или (4.143) с учетом (4.167) находим преобразование от 5 к S' (т). При т = 0 имеем
aih (O) =
1 о О о
о У о і иу/с
о о 1 О
о —¦ і иу/с о У .
(4.168)
96
Поэтому, обозначая пространственно-временные координаты системы S' (0) через х°, из (4.142) получаем
X1 = X01] X2 = JX02-I(Uyfc)Xl I 9
Xz = X0] Xi=I (иу/с) х% + ух°. J-
Это специальное преобразование Лоренца от S к системе S' (0) , движущейся в направлении оси X2 со скоростью и.
В следующий момент времени т = T1 = 2л/(оу, в соответствии с (4.167), имеем
а
Ik
(Tl) -
— і (иу/с) sin P1 і (иу/с) COS P1
о
(4.170)
где
где
COS P1 —у Sin P1 О Sinpi Ycosp1 О
О О 1
О —і иу/с О у
2л (y — 1). Коэффициенты CCik (T1) можно записать также в виде
(Tl) = Pa (°)>
COS P1 — І sin P1 0 0
SinP1 COS P1 0 0
0 0 I 0
0 0 0 I
(4Л71)
Если координаты системы S' (T1) обозначить х}, то
Xi
а
Ik
(Ti) хк - ра щк (O) = Pi1*?
