Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(v/j 1— U1Ic1) {(ulw)(ne) — I} = О,
или
i?j=(un). (4.47')
Формула (4.47) показывает, что в любой инерциальной системе нормальная фазовая скорость равна проекции групповой скорости на нормаль к фронту волны, а групповая скорость равна фазовой скорости в направлении луча.
В то время как квадрат величины (Ui) является инвариантом и равен —с1, ДЛЯ Oi имеем
2 о? = V2 (I Iw2 — 1 /с2) = (v'2lc2) (я2— 1). (4.48)
І
Следовательно, волновой 4-вектор световой волны в вакууме является нулевым вектором.
§ 4.6. 4-Импульс. 4-Сила. Основные уравнения механики точки в четырехмернон векторноіі форме
В § 3.3 было показано [см. (3.32) и (3.37)], что импульс и энергия (р,
Elc) материальной частицы преобразуются как пространственно-временные
координаты (х, ct). Поэтому величина
Pi = (р, і Е/с) (4.49)
является 4-вектором и называется 4-импульсом частицы. Подставляя (3.23) и (3.33) в (4.49), получаем, что
Pi = InnUh (4.50)
т. е. 4-импульс частицы пропорционален ее 4-скорости, а коэффициент пропорциональности равен массе покоя частицы ти. Из (4.41) и (4.50) следует, что норма этого вектора равна
2 р? = P2- E1Ic2 = ml ^Uf = -т = с2 (4.51)
І
в соответствии с (3.35). Таким образом, 4-импульс является времениподобиым вектором.
Поскольку pj в (4.50) и Oi в (4.43) преобразуются одинаково, плоскую волну с волновым вектором Oi можно инвариантным образом связать с частицей с импульсом Pi, так чтобы
Pi=Hoi, (4.52)
где h — инвариантная постоянная. Если выбрать h равной постоянной Планка, то получим волну де Бройля частицы [38]. Фазовая скорость w волны де Бройля в соответствии с (4.43), (4.52) и (3.36) связана со скоростью и частицы урав-
нением
I Iw -\ I о IZccr4 = і I р ЦсрА = р/Е = Ulc1. (4.52')
Теоремы сохранения энергии и импульса при столкновении частиц можно описать одним уравнением
Pt = Pi, (4.53)
где Pi и Pi — суммарные 4-импульсы частиц до и после столкновения соответственно. Первые три уравнения в (4.53) (г = 1, 2, 3) выражают теорему сохранения импульса, а последнее (і = 4) — теорему сохранения энергии. Урав-
нение (4.53) выражает закон сохранения импульса и энергии в ковариантной форме относительно преобразований Лоренца, так как 4-векторы с одинаковыми компонентами в одной системе отсчета будут иметь, очевидно, одинаковые компоненты в любой другой системе.
В заключение § 3.3 было показано, что совокупность величин (Fat, (Fmu)) преобразуется как (р, Е), поэтому четыре величины
Fi = {FM) і (Fai и)/с} = {F/Vl-W2, (і (Fu)/c)//l -U2Ic2] (4.54)
являются компонентами 4-вектора, который называется 4-силой Минковского [163], Теперь основные уравнения механики (3.42) можно записать в следующей ковариантной форме:
dpi! dx = Fu (4.55)
или, поскольку т0 — постоянная,
IYi0Ai — IriQdUiIdx = Fi. (4.56)
Первые три уравнения являются уравнениями движения, а четвертое выражает закон сохранения энергии. Из (4.55) видно, что Fi является 4-вектором,
поскольку правая и левая части (4.55) должны преобразовываться одинаково, а левая часть есть производная от 4-вектора по инвариантному аргументу т, т. е. остается 4-вектором.
Из (4.4Ґ) и (4.56) следует также, что векторы Ui и Fi ортогональны друг другу, т. е.
JiFiUi = 0. (4.57)
І
Уравнения (4.57) или (4.54) для Fi характеризуют истинную механическую 4-силу, т. е. величину, определяющую изменение 4-скорости частицы в соответствии с уравнениями вида (4.56). Силу, определенную таким образом, можно рассматривать как вынуждающую силу. Если собственная масса частицы — постоянная (как это предполагалось до сих пор), то (4.56) совпадает с (4.55), так что в этом случае Fi также равна скорости изменения 4-импульса.
Однако 4-импульс частицы рг- может изменяться только в одном из двух случаев: либо при изменении 4-скорости частицы, либо при изменении ее собственной массы т0. Последний случай имеет место, например, когда частица постоянно теряет массу с определенной скоростью, как маленькая ракета. Как и при изменении 4-импульса под действием 4-силы Fi, здесь также происходит изменение 4-импульса, обусловленное потерей массы. Пусть—FIi есть 4-импульс, который частица теряет за единицу собственного времени т. Тогда вместо (4.55) имеем
JpiIdx = F i + Hf (4.58)
Полагая
Пг= {П/1 'I-U2Ic2, і Ф/с/1/1— U2Ic1] , (4.59)
из (4.58) получаем уравнения
dp/dt = f + Yl; dEldt = Fu-f-Ф, (4.58')
которые в данном случае заменяют (3.39). Очевидно, что П и Ф представляют
собой количества энергии и импульса, подводимых к частице конвекцией
в единицу времени t. Из (4.58) непосредственно следует, что П,— 4-вектор, но уже не ортогональный Ui. Инвариант CZiITi с помощью (4.39) и (4.59) приводится к виду
?/гПг = (Пи—Ф)/(1—U2Ic2)= —Ф°, (4.60)
81
где Ф° — скорость конвективного подвода энергии в системе покоя частицы, равная скорости увеличения собственной энергии частицы. Это следует также из уравнения (4.58), которое можно записать как
Ui^dUiIdxjrUi dmjdx = Fi + IIi. (4.58")
Умножая (4.58") и —Ui и учитывая (4.41), (4.41'), (4.57) и (4.60), получаем
