Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
F1 v = т° о21У I —V 2jc2\ Фі=т° с2 УI-V2Ici.
Аналогичные выражения, но с противоположным знаком получаются для части 2. В данном случае F1, F1V и Ф* — чисто формальные величины, He имеющие никакого физического смысла. Сказать (как это делалось в ранних работах), что F1 — реальная физическая сила, необходимая для поддержания постоянной скорости части 1 скопления, значит отказаться от самых фундаментальных осиов экспериментальной физики Галилея и вернуться к философии Аристотеля.
§ 4.7. Тензоры второго ранга
В предыдущих параграфах мы видели, что ковариантность основных уравнений механики при преобразованиях Лоренца выглядит особенно изящно, когда эти уравнения записаны в четырехмерной векторной форме. Чтобы полу-
83
чить аналогичное геометрическое представление для других разделов физики, например для электродинамики, необходимо ввести четырехмерные тензоры.
Тензором второго ранга в (3 + 1)-пространстве называется величина, которая относительно некоторой системы координат 5 имеет 42 компонент tih, и при переходе к другой системе координат S' преобразуется по закону:
Uk Jj&il tih= tlm ®ii (^-70)
К т
где OLih — коэффициенты уравнения (4.3), определяющего переход от S к S'.
Для упрощения мы опустили здесь знак суммирования. В дальнейшем будем пользоваться правилом, в соответствии с которым по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, как, например, I или т в (4.70), подразумевается суммирование от 1 до 4. Свободные индексы, например і и k в (4.70), могут независимо принимать значения 1, 2, 3, 4. Следуя этому правилу, уравнение (4.25) можно записать в форме CiiCii = а[а\. Когда индекс может принимать только значения 1,2, 3, мы обозначаем его греческой буквой, а если он повторяется в данном выражении дважды, суммируем по этому индексу от 1 до 3. Следовательно, квадрат длины пространственного вектора можно записать в форме
І а Iа = % Oll.
Определение (4.70) 4-тензора является прямым обобщением определения пространственного тензора, компоненты которого при вращениях в физическом пространстве преобразуются по закону
= aJiX, avp tx$, (4.71)
где Ctjtv •— коэффициенты ортогонального преобразования, соответствующего данному вращению.
Сумма диагональных элементов тензора второго ранга является инвариантом, так как из (4.11) и (4.70) имеем
Ui ={anairn)tim = bimtlm = tu. (4.72)
Аналогично из условий ортогональности (4.11) и (4.14) следует, что величина
tikUk~ tlmtlm (4.73)
есть инвариант.
Если коэффициенты a.ik соответствуют трехмерному вращению,
ctjj.4 = (*4v = O^ = 1, (4.74)
то (4.70) принимает вид
— aH?. aVP tkfc ^|*4 = ®J&^X4!
—• OivP pi ^44—^44-
Формулы (4.75) ,показывают, что при пространственных вращениях пространственная часть 4-тензора преобразуется как обычный трехмерный тензор. Кроме того, числа Iii\ и в отдельности соответствуют пространственным векто-
рам, а Am — инвариант при обычных пространственных вращениях. С помощью вектора Cti и тензора tih можно образовать новый вектор
bi = tihah, (4.76)
так как в соответствии с (4.24), (4.70) и (4.11) имеем
bi = tik &k = aH &hm Um ahn &п “ aH (®km afcn) ^km &п ~
~ ®г! ^mn tlm = ^il (tlm ^m) ~ ^il (4.77)
Если Ciik и bik — компоненты двух тензоров, то aih + также являются компонентами тензора, который называется суммой двух тензоров. Если
(4.75)
84
Uk — тензор, то tih = tki — тоже тензор, т. е. транспонированный тензор. Если щ и bi являются компонентами двух векторов и преобразуются по формулам
(4.24), величины
Iih = Uibk (4.7 8)
преобразуются, очевидно, по формулам (4.70). Тензор второго ранга, определяемый формулой (4.78), называется прямым произведением двух векторов
at и bt. Величины
Uk = aA-^bi = —tki (4.79)
также образуют тензор. Такой тензор удовлетворяет соотношениям
U к— —tki— —^ih (4.80)
для всех значений индексов і и & и называется антисимметрическим или кососимметрическим тензором. Аналогично тензор, удовлетворяющий соотношениям
tih~thi = tihi (4.81)
называется симметр ическим.
Поскольку левая и правая части уравнений (4.80) и (4.81) преобразуются как тензоры, эти уравнения справедливы в любой системе координат. Следовательно, симметричность или антисимметричность тензора являются его
инвариантными свойствами. В антисимметрическом тензоре все диагональные элементы равны нулю, так как, полагая в (4.80) і — k (без суммирования), получаем, что
Ui = -Ui = 0 (4.82)
для любого І.
Антисимметрический тензор второго ранга Fik — —Fhi имеет только шесть независимых компонент. Положим
HlIv = -^nv! Eil — і Рц4 = IFill. (4.83)
Hiiv и Eil в соответствии с (4.75) преобразуются при пространственных вращениях (4.74) как компоненты антисимметрического пространственного тензора и обычного пространственного вектора Е. Полагая далее
H1 = Hvt', Hi = Hti, H3==H12 (4.83')
в случае специальных преобразований Лоренца (4.16) получим следующие формулы преобразований для H11 и Eil:
Hrl = Hi Я; = 7(Я2 + у?3/с); Н'3 = у(Н3 — vEJc); ]
