Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Однако физический закон, выраженный в системе S уравнением (4.21), можно в системе S' также записать в виде уравнения
F(A',B\...; OA1IOxti; 0B'!0xf) = 0, (4.21')
где, в соответствии с принципом относительности, F должна быть такой же
функцией от переменных А', В', ..., что и функция F от переменных А, В ... в (4.21) , т. е. любое соотношение между физическими величинами должно выражаться форм-инвариантными или ковариантными уравнениями.
Когда возникла необходимость выразить фундаментальные уравнения электродинамики и теории упругости в форме, не зависящей от декартовой системы координат, были открыты трехмерные векторное и тензорное исчисления. Поскольку преобразования Лоренца представляют собой вращения в (3+1)-пространстве, естественно обобщить трехмерные векторы и тензоры на четырехмерные и, для удовлетворения требования ковариантности законов природы при этих преобразованиях, записывать фундаментальные уравнения в форме четырехмерных тензорных уравнений.
75
Как мы увидим далее, это возможно для всех фундаментальных уравнений классической макроскопической физики. Поэтому с некоторых пор возникла уверенность, что все законы природы можно записать в тензорной форме. Однако с появлением квантовомеханической теории электрона Дирака [62] стало ясно, что для описания некоторых физических систем кроме тензоров требуются так называемые спиноры с совершенно иным законом преобразования, но тем не менее удовлетворяющие ковариантным дифференциальным уравнениям типа (4.21), (4.21').
§ 4.4. Четырехмерный линейный элемент, или интервал. 4-векторы
Рассмотрим в (3 1)-пространстве две близкие точки P и P' с координатами (Xi) и (Xi + (Ixi) относительно произвольной инерциальной системы S. Из (4.9) найдем квадрат четырехмерного расстояния между этими точками:
ds2 = J\dxf. (4.22)
I
Это выражение для линейного элемента, или интервала, определяет геометрию в (3 + 1)-пространстве. Инфинитезимальный отрезок, соединяющий P с Pf, является аналогом соответствующего вектора трехмерного пространства. Этот вектор в произвольной системе определяется своими четырьмя компонентами (dXj). При вращении системы координат эти компоненты преобразуются как координаты:
dx-=^atkXk. (4.23)
к
Теперь определим в общем случае 4-вектор как величину, которая в произвольной системе координат имеет четыре компоненты. (at), преобразующиеся как координаты (Xi). Таким образом, вращениям системы координат (4.3), (4.13) соответствуют преобразования компонент вектора
^ = Ji^ih ah\ Cik = J^aIctih. (4.24)
k І
По аналогии с (4.4) отсюда следует, что квадрат длины 4-вектора, или норма вектора,
Se? = Sa'“ <4-25)
і і
есть инвариант.
В соответствии с тем, что инвариант (4.25) может быть меньше нуля, равен нулю и больше нуля, мы говорим о времениподобном векторе, нулевом векторе и пространственноподобном векторе.
Для инфинитезимального вектора (dxt), соединяющего два близких события P и P', (4.25) совпадает с (4.22), т. е.
ds- = J^dxl = do1—с2 dt2, (4.26)
І
где a — пространственное расстояние между двумя точками физического пространства, в которых произошли два события, а dt — разница во времени между этими событиями. Световой конус с вершиной в точке P определяется уравнением ds2 = 0. Если точка Pr лежит на световом конусе, то два события можно связать световым сигналом, Если вектор dxt — времениподобный, то он лежит внутри светового конуса, а если он пространственноподобный, то — снаружи.
76
Из двух векторов с компонентами (а*) и (bt) можно образовать новый вектор с компонентами Iai + &,-). Поэтому квадрат величины этого вектора, являющийся инвариантом, можно записать в виде
так что по аналогии с (4.10) величина
SMi = 2>а' Ъ\
(4.27)
тоже инвариант. Выражение (4.27) называется скалярным произведением двух векторов. Говорят, что два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
Первые три компоненты 4-вектора преобразуются при пространственных вращениях как компоненты обычного пространственного вектора а. Поэтому в любой инерциальной системе 4-вектор можно разложить на пространственную и временную части:
(а,) = (а, а4). (4.28)
Конечно, это разложение не инвариантно относительно преобразований Лоренца, Поскольку величина (а, а4) преобразуется как
(х, х4,) = (х, і ct), то в соответствии с (2.25') имеем
а = а
U2 (1 _pB/C*)>/2
аі = іаі + і (va')/c)/(l -V2Ic2)1!2. Если вектор времениподобный, т. е.
= |а|2-|а412 <0,
(4.29)
(4.30а)
то всегда можно выбрать такую систему S', в которой пространственный вектор а' — 0. Для этого достаточно взять временную ось системы 5' в направлении 4-вектора (at). Если же вектор пространственноподобный, т. е.
2 a? H a I2-KI2 > 0, (4.306)
І
то всегда можно найти такую систему S', в которой а\ = 0.
Это означает, что новая временная ось перпендикулярна вектору at. Поэтому для вектора Ьи направленного вдоль новой временной оси, bI1 — 0, (ц = = 1, 2, 3), т. е.
&i Ьі = а[ Ы = 0.
§ 4.5. 4-скорость и 4-ускорение. Волновой вектор. Четырехмерная групповая скорость
