Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
2, а, = 2, 6, = 2, с, = 0. (4.119)
Объем V параллелепипеда равен длине псевдовектора 2,
22 = е2,2г> (4.120)
где є — ±1. Если 2, — пространственноподобный вектор, то є = +1, а если
2, — времениподобный вектор, TO E = —1.
Наконец, псевдотензор, дуальный антисимметрическому тензору четвертого ранга, является псевдоскаляром. Для тензора
Cii bi Ci (Ii
ак bh ck dh
C1 bt C1 dt
Qi
iklm
C^m &т
(4.121)
дуальный псевдоскаляр имеет вид
^ (1/І4!) ^iktm О/О ^iklm C^i С, dm
aI cI
І
&2 t>2 C2 d2
а3 Ь'л d3
Сіл Ьл Ca d*
(4.122)
Q — объем параллелепипеда, определяемого векторами аи bh Ci, dt, удовлетворяющий уравнению
Q*= -(1/4!) QihlmQiklm. (4.123)
Если аи bif Ci, di — инфинитезимальные векторы в направлении координатных осей длиной dxlf dx2, dx3, dx4 соответственно, то элемент четырехмерного объема
dQ = (I/ fydx^dx 2dx ^dxi
(4.124)
также псевдоскаляр.
Рассмотрим два трехмерных инфинитезимальных линейных элемента I1. I2, покоящихся в определенной точке р трехмерного пространства инерциальной системы 5°. Пусть dx^, — разность между координатами концов элемента I1 в 5°. Тогда dx^ — являются компонентами 3-вектора dx°> соответствующего элементу I1. Аналогично бх° с компонентами 6хЦ — трехмерный вектор, соответствующий Iz. Тогда параллелограмм, построенный на элементах I1 и I2, описывается (аксиальным) вектором
di0 = (dx° х Sx0) = n0 dfa,
(а і
90
где n0 — единичный вектор в направлении di0. Компоненты df° в соответствии с (4.103) следующие:
С = ЄдЛ dx$ 8x1 dfo = (С dft)1 . (б)
Пусть 5 — другая инерциальная система, относительно которой I1, I2, Sc1 df движутся с определенной скоростью и. Теперь определим два 4-вектора dxj и 6Xi со следующими свойствами: в системе S их временные компоненты равны нулю, т. е.
dx4 = Sx4 — 0, (в)
а в S0 их пространственные компоненты совпадают с компонентами 3-векторов Jlxll и Sxv, соответствующих элементам Z1 и I2. Этими условиями оба вектора определены однозначно. Их пространственные компоненты dxSxll в системе
S определяют два 3-вектора dx и Sx, соединяющих одновременные положения концов двух движущихся линейных элементов. Параллелограмм, построенный на этих векторах, определяется аксиальным вектором
di - (dx х Sx) = ndf; dfn = е,?vi dxy Ьх%; df = (df» df!X)112, (г)
который, очевидно, описывает мгновенное положение движущегося параллелограмма с точки зрения наблюдателя в S.
Соотношение между di и df0 легко получить, если ввести 4-вектор
AFi = Eiklm dxk Sxi UJc, (д)
гAQ Ui — 4-скорость (4.39). Поскольку символ Леви-Чивита антисимметричен, dFt ортогонален к Uh т. е.
Ui dFt = 0; dFt = —dF» UJUi = IdPv, иJс. (е)
Кроме того, используя (б), (4.39) и учитывая, что EiivU равен трехмерному символу Леви-Чивита, получаем
CfT7H = Бц\.?.4 dxv бхх UJci = Sma,/. dxv dxx у, (ж)
где
у = у (и) = (I — U2Ic2)'1/2.
Таким образом, из уравнений (г), (е) и (ж) имеем
dFt = Iydfix, iy (df„, йц)/с>. (з)
Сравнивая формулы (з), (е) с формулами (4.54), (4.57), видим, что 3-вектор dfu аналогичен истинной механической силе. Поэтому в случае преобразований Лоренца без вращений из (4.29) по аналогии с (3.43) получим
df = (I—U2Ic2)1!2df0-}- u (udi°lu2) {1 — (I —U2Zc2)1/2); udf = udi°. (и)
Это общее выражение для лоренцева сокращения движущегося поверхностного элемента. Если di0 параллелен и, т. е. если поверхностный элемент перпендикулярен движению, из уравнения (и) следует, что di также параллелен и и df = df0. С другой стороны, когда di0 ортогонален и,
di = Jf0 (I — U2Ic2)1/2; df = df°( I — U2Ic2)1/2.
Таким же'способом можно получить формулу (2.34) для сокращения движущегося объемного элемента, т. е.
dV = dV°(l— U2Ie2)1/2, (к)
если рассмотреть три инфинитезимальных 4-вектора dxh Sxi-, Axil причем
dXi = Sx4 = Дх4, (л)
и образовать инвариант
Zihim dx{ Sxft Axl UJic = вШт dx? 5*? Ax0l U%Jc. (м)
91
С учетом (л) и (4.39) левую часть в (м) приведем к виду
Snvk dxJi a*v Ла'я У = а поскольку C/^/ic 6га4, правая часть равна
S(iv>, dx^ 6xv = dV0.
Следовательно, (м) совпадает с (к).
§ 4.13. Инфинитезимальные преобразования Лоренца. Преобразования без вращения
Инфинитезимальные однородные линейные преобразования (Xi) -*¦ (Xi) имеют вид
Xi =Xi + Eik Xh - (бH1 +eih) Xh, (4.125)
где Eih — инфинитезимальные величины. В случае преобразований Лоренца,
подставляя (4.125) в (4.10) и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем
хі xi = (X1 + Eik Xk) уХі + Eih Xh ) = Xi Xi -j- Xi Eik Xk -f- Xi Eik Xh.
Поскольку это уравнение должно удовлетворяться при любых значениях Xi И Xi, то
eifi — —'eki' (4.126)
Это условие для инфинитезимальных преобразований эквивалентно условиям
ортогональности (4.11), (4.14) для конечных преобразований.
Рассмотрим произвольное преобразование Лоренца (4.3), связывающее пространственно-временные координаты двух систем ShS'. Пусть v = (vx, vy, vz) — скорость S' относительно 5. Тогда соответствующий 4-вектор V1 с учетом (4.39) имеет вид