Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 45

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 198 >> Следующая


2, а, = 2, 6, = 2, с, = 0. (4.119)

Объем V параллелепипеда равен длине псевдовектора 2,

22 = е2,2г> (4.120)

где є — ±1. Если 2, — пространственноподобный вектор, то є = +1, а если

2, — времениподобный вектор, TO E = —1.

Наконец, псевдотензор, дуальный антисимметрическому тензору четвертого ранга, является псевдоскаляром. Для тензора

Cii bi Ci (Ii

ак bh ck dh

C1 bt C1 dt

Qi

iklm

C^m &т

(4.121)

дуальный псевдоскаляр имеет вид

^ (1/І4!) ^iktm О/О ^iklm C^i С, dm

aI cI

І

&2 t>2 C2 d2

а3 Ь'л d3

Сіл Ьл Ca d*

(4.122)

Q — объем параллелепипеда, определяемого векторами аи bh Ci, dt, удовлетворяющий уравнению

Q*= -(1/4!) QihlmQiklm. (4.123)

Если аи bif Ci, di — инфинитезимальные векторы в направлении координатных осей длиной dxlf dx2, dx3, dx4 соответственно, то элемент четырехмерного объема

dQ = (I/ fydx^dx 2dx ^dxi

(4.124)

также псевдоскаляр.

Рассмотрим два трехмерных инфинитезимальных линейных элемента I1. I2, покоящихся в определенной точке р трехмерного пространства инерциальной системы 5°. Пусть dx^, — разность между координатами концов элемента I1 в 5°. Тогда dx^ — являются компонентами 3-вектора dx°> соответствующего элементу I1. Аналогично бх° с компонентами 6хЦ — трехмерный вектор, соответствующий Iz. Тогда параллелограмм, построенный на элементах I1 и I2, описывается (аксиальным) вектором

di0 = (dx° х Sx0) = n0 dfa,

(а і

90
где n0 — единичный вектор в направлении di0. Компоненты df° в соответствии с (4.103) следующие:

С = ЄдЛ dx$ 8x1 dfo = (С dft)1 . (б)

Пусть 5 — другая инерциальная система, относительно которой I1, I2, Sc1 df движутся с определенной скоростью и. Теперь определим два 4-вектора dxj и 6Xi со следующими свойствами: в системе S их временные компоненты равны нулю, т. е.

dx4 = Sx4 — 0, (в)

а в S0 их пространственные компоненты совпадают с компонентами 3-векторов Jlxll и Sxv, соответствующих элементам Z1 и I2. Этими условиями оба вектора определены однозначно. Их пространственные компоненты dxSxll в системе

S определяют два 3-вектора dx и Sx, соединяющих одновременные положения концов двух движущихся линейных элементов. Параллелограмм, построенный на этих векторах, определяется аксиальным вектором

di - (dx х Sx) = ndf; dfn = е,?vi dxy Ьх%; df = (df» df!X)112, (г)

который, очевидно, описывает мгновенное положение движущегося параллелограмма с точки зрения наблюдателя в S.

Соотношение между di и df0 легко получить, если ввести 4-вектор

AFi = Eiklm dxk Sxi UJc, (д)

гAQ Ui — 4-скорость (4.39). Поскольку символ Леви-Чивита антисимметричен, dFt ортогонален к Uh т. е.

Ui dFt = 0; dFt = —dF» UJUi = IdPv, иJс. (е)

Кроме того, используя (б), (4.39) и учитывая, что EiivU равен трехмерному символу Леви-Чивита, получаем

CfT7H = Бц\.?.4 dxv бхх UJci = Sma,/. dxv dxx у, (ж)

где

у = у (и) = (I — U2Ic2)'1/2.

Таким образом, из уравнений (г), (е) и (ж) имеем

dFt = Iydfix, iy (df„, йц)/с>. (з)

Сравнивая формулы (з), (е) с формулами (4.54), (4.57), видим, что 3-вектор dfu аналогичен истинной механической силе. Поэтому в случае преобразований Лоренца без вращений из (4.29) по аналогии с (3.43) получим

df = (I—U2Ic2)1!2df0-}- u (udi°lu2) {1 — (I —U2Zc2)1/2); udf = udi°. (и)

Это общее выражение для лоренцева сокращения движущегося поверхностного элемента. Если di0 параллелен и, т. е. если поверхностный элемент перпендикулярен движению, из уравнения (и) следует, что di также параллелен и и df = df0. С другой стороны, когда di0 ортогонален и,

di = Jf0 (I — U2Ic2)1/2; df = df°( I — U2Ic2)1/2.

Таким же'способом можно получить формулу (2.34) для сокращения движущегося объемного элемента, т. е.

dV = dV°(l— U2Ie2)1/2, (к)

если рассмотреть три инфинитезимальных 4-вектора dxh Sxi-, Axil причем

dXi = Sx4 = Дх4, (л)

и образовать инвариант

Zihim dx{ Sxft Axl UJic = вШт dx? 5*? Ax0l U%Jc. (м)

91
С учетом (л) и (4.39) левую часть в (м) приведем к виду

Snvk dxJi a*v Ла'я У = а поскольку C/^/ic 6га4, правая часть равна

S(iv>, dx^ 6xv = dV0.

Следовательно, (м) совпадает с (к).

§ 4.13. Инфинитезимальные преобразования Лоренца. Преобразования без вращения

Инфинитезимальные однородные линейные преобразования (Xi) -*¦ (Xi) имеют вид

Xi =Xi + Eik Xh - (бH1 +eih) Xh, (4.125)

где Eih — инфинитезимальные величины. В случае преобразований Лоренца,

подставляя (4.125) в (4.10) и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем

хі xi = (X1 + Eik Xk) уХі + Eih Xh ) = Xi Xi -j- Xi Eik Xk -f- Xi Eik Xh.

Поскольку это уравнение должно удовлетворяться при любых значениях Xi И Xi, то

eifi — —'eki' (4.126)

Это условие для инфинитезимальных преобразований эквивалентно условиям

ортогональности (4.11), (4.14) для конечных преобразований.

Рассмотрим произвольное преобразование Лоренца (4.3), связывающее пространственно-временные координаты двух систем ShS'. Пусть v = (vx, vy, vz) — скорость S' относительно 5. Тогда соответствующий 4-вектор V1 с учетом (4.39) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed